Curva piana: differenze tra le versioni

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== Prime considerazioni ==
Le curve piane sono oggetti geometrici ampiamente studiati, fin dall'antichità, con obiettivi non solo di tipo matematico. La collezione delle curve che sono state studiate in termini matematici è molto varia e complessa, e conviene rilevare subito alcune distinzioni.
 
Una curva piana si dice ''semplice'' se non si autointerseca, ovvero se per ogni <math>t_1 \ne t_2 \in I </math> si ha <math>\alpha(t_1) \ne \alpha(t_2)</math>. In caso contrario si dice dotata di punti doppi, tripli, e così via.
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Un'altra distinzione riguarda il fatto che una curva piana sia ''limitata'', cioè abbia come supporto un insieme limitato di punti di <math>\R^2</math>, oppure sia ''illimitata''. Curve piane limitate sono le [[ellisse|ellissi]] e le [[lemniscata|lemniscate]], mentre sono illimitate le [[iperbole|iperboli]] e le [[spirale|spirali]].
 
== Rappresentazioni ==
{{vedi anche|Curva nello spazio}}
=== Rappresentazione in forma cartesiana esplicita ===
Un tipo di rappresentazione della curva piana è l'equazione:
 
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cioè come funzione di una variabile indipendente. Questa rappresentazione ha molti limiti geometrici derivanti dal fatto che una curva molto spesso ha una descrizione molto complessa in questa forma, non adatta allo studio delle proprietà geometriche.
 
=== Rappresentazione in forma cartesiana implicita ===
Una curva si può rappresentare anche nella forma:
 
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cioè come funzione di due variabili indipendenti. Sebbene questa rappresentazione sia per alcune finalità migliore di quella esplicita si possono incontrare problemi quando è necessario esplicitare una variabile in funzione dell'altra, cosa che non è nemmeno sempre possibile.
 
=== Rappresentazione parametrica ===
La migliore rappresentazione è sicuramente quella parametrica, del tipo:
 
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Una curva piana parametrica <math>\alpha (t) = (\phi (t), \psi (t))</math> si dice differenziabile in ogni punto se le funzioni <math>\phi (t)</math> e <math>\psi (t)</math> hanno derivate continue in ogni punto. Una curva piana differenziabile si dice ''regolare'' in un punto <math>t_0</math> se <math>\alpha'(t_0) = (\phi'(t_0), \psi'(t_0)) \ne (0,0)</math> e regolare in I se <math>\alpha'(t) \ne (0,0)</math> in ogni punto di I. Un punto in cui si abbia <math>\alpha'(t_0) = (0,0)</math> si dice che è un punto ''singolare'' per la curva.
 
== Retta tangente ==
La regolarità della curva permette di definire la retta tangente alla curva. Sia <math>\alpha (t)</math> una curva differenziabile e <math>P_0 = \alpha(t_0)</math> un punto regolare. Si può definire la retta tangente alla curva in quel punto come la retta passante per <math>P_0</math> parallela al [[Vettore (matematica)|vettore]] <math>\alpha'(t_0) =(\phi'(t_0),\psi'(t_0))</math>.
 
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:<math>F_{x} \cdot (x-x_0) + F_{y}(y-y_0) = 0 </math>
 
== Retta normale ==
La regolarità della curva permette di definire anche la ''retta normale'' alla curva nel punto <math>t_0</math> di equazione cartesiana:
 
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:<math>F_{y} \cdot (x-x_0) - F_{x} \cdot (y-y_0) = 0</math>
 
== Coseni direttori ==
Dalla definizione stessa di [[derivata]] si ottiene:
 
:<math>\frac {\psi(t)}{\phi(t)} = \tan \theta</math>
 
che geometricamente rappresenta la pendenza della retta tangente, cioè la [[tangente (matematica)|tangente goniometrica]] dell'angolo che la retta tangente forma con l'asse orizzontale ''x''. Da questa relazione si possono estrarre i [[coseni direttori]] della retta tangente:
 
:<math>\cos \theta = \pm \frac {\phi'(t)}{\sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2}} \qquad \sin \theta = \pm \frac {\psi'(t)}{\sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2}}</math>
 
== Riparametrizzazione ==
Data una curva <math>\alpha : I \to \R^2</math> differenziabile e una funzione <math>t = t(s)</math> definita sull'intervallo <math>S \to I</math> allora la curva:
 
Riga 103:
:<math>\beta'(s) = \frac {dt}{ds} \left(\frac {d\phi}{dt} , \frac {d\psi}{dt} \right) = \frac {dt}{ds} \alpha'(t(s))</math>
 
== Lunghezza di una curva ==
=== Lunghezza in forma parametrica ===
Sia data <math>\alpha (t) = (\phi(t),\psi(t))</math> differenziabile e <math>[a,b] \subseteq I</math>. Allora la lunghezza dell'arco di curva compreso tra <math>[\alpha(a),\alpha(b)]</math> vale:
 
Riga 113:
:<math>\mbox{Lungh}(\alpha) = \mbox{Lung}(\beta) = \int_{a}^{b} \| \alpha'(t) \| dt = \int_{a}^{b} \| \beta'(s) \| ds</math>
 
=== Lunghezza in forma cartesiana esplicita ===
Se la curva è rappresentata in forma cartesiana esplicita:
 
Riga 134:
:<math>\mbox{Lungh}(y) = \int_{a}^{b}{\sqrt{1 + \left ( \frac {dy}{dx} \right)^2} \cdot dx}</math>
 
=== Parametrizzazione in coordinate polari piane ===
Una forma di parametrizzazione che assume importanza notevole nello studio della matematica, della geometria e in molti campi di applicazione della matematica è quella in [[Coordinate polari|coordinate polari piane]]. Data una curva che ha parametrizzazione in coordinate polari piane in forma cartesiana:
 
Riga 151:
:<math>\mbox{Lungh} = \int_{c}^{d} \sqrt{\phi'(\theta)^2 + \psi'(\theta)^2} \cdot d\theta = \int_{c}^{d} \sqrt{r(\theta)^2 + r'(\theta)^2} d\theta = \int_{c}^{d} \sqrt{r(\theta)^2 + \left(\frac {dy}{dx} \right)^2} \cdot d\theta</math>
 
== Ascissa curvilinea ==
Si definisce ''ascissa curvilinea'' oppure ''parametro lunghezza arco'' la riparametrizzazione particolare ottenuta fissando l'estremo inferiore di integrazione <math>a</math> in modo che l'integrale:
 
Riga 166:
:<math>\| \beta'(s) \| = | \frac {dt}{ds} | \cdot \| \alpha'(t) \| = \frac {1}{|s'(t)|} \| \alpha'(t) \| = \frac {\| \alpha'(t) \|}{\| \alpha'(t) \|} = 1</math>
 
== Curvatura ==
{{vedi anche|Curvatura}}
Sia <math>\beta(s)</math> una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea e <math>\beta'(s)</math> il suo versore tangente. Si considera la funzione <math>k(s) : S \to \R</math> che associa ad ogni <math>s \in S</math> il valore <math>k(s) = \| \beta'(s) \|</math>. La funzione <math>k(s) \ge 0</math> è la curvatura della curva.
Riga 178:
:<math>k = \frac{F_{y}^{2} \cdot F_{xx} - 2 F_{x} \cdot F_{y} \cdot F_{xy} + F_{x}^{2} \cdot F_{yy}}{\left(F_{x}^{2} + F_{y}^{2} \right)^{3/2}} </math>
 
== Formule di Frenet ==
{{vedi anche|geometria differenziale delle curve}}
Una curva (sufficientemente regolare) nello spazio ha in ogni suo punto un sistema di riferimento, detto ''triedro di Frenet'', dato da una terna di vettori ''tangente'', ''normale'' e ''binormale''. Tale curva è piana precisamente quando il vettore binormale è sempre nullo.
Riga 200:
:<math>T(t) = \frac {\alpha'(t)}{\| \alpha'(t) \|} \qquad N(t) = \frac {i \cdot \alpha'(t)}{\| \alpha'(t) \|} \qquad k(t) = \frac {\alpha''(t) \cdot (i \alpha'(t))}{\| \alpha'(t) \|^3}</math>
 
== Bibliografia ==
* {{en}} Erwin Kreyszig, ''Differential Geometry'', Dover Publications, New York, 1991, ISBN 0-486-66721-9
* {{en}} Euclid, commentary and trans. by T. L. Heath ''Elements'' Vol. 1 (1908 Cambridge) [http://books.google.com/books?id=UhgPAAAAIAAJ Google Books]
* {{en}} E. H. Lockwood ''A Book of Curves'' (1961, Cambridge)
* {{Cita libro
|autore= Luciano Cresci
|titolo= [[Le curve celebri]]: Invito alla storia della matematica attraverso le curve piane più affascinanti
|anno= [[1998]]
|editore= [[Franco Muzzio Editore]]
|pagine= pp. 194
|id= ISBN 887021864388-7021-864-3
}}
 
== Voci correlate ==
* [[Curva (matematica)]]
* [[Differenziabilità]]
* [[Derivata]]
* [[Curva nello spazio]]
* [[Geometria differenziale delle curve]]
 
== Collegamenti esterni ==
* {{en}} [http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node32.html#SECTION01800000000000000000 Geometry Center]
* [http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/_00biblio.htm Macchine per il tracciamento di curve piane] dal ''Laboratorio di Matematica di Modena'' del Museo di Storia Naturale e della Strumentazione Scientifica dell'[[Università di Modena]] e [[Reggio Emilia]].