Funzione esponenziale: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], la '''funzione esponenziale''' è l'[[elevamento a potenza]] con base il numero [[e (matematica)|e]]; la scelta di questa particolare valore è motivata dal fatto che, in questo modo, la [[derivata]] della funzione esponenziale è la funzione esponenziale stessa. Viene solitamente rappresentata come <math>e^x</math>, oppure <math>\exp(x)</math> quando è difficile scrivere la variabile come un esponente.

:<math>\exp(x) \equiv e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots, </math>

 

 

In modo diverso, ma del tutto equivalente, si può definire la funzione esponenziale come il [[limite di una successione|limite della successione]]

La funzione <math>f(x) = e^x</math> e le funzioni da essa composte risolvono una classe di equazioni differenziali che esprimono in termini matematici molti dei più importanti problemi fisici. In particolare, questo tipo di funzioni si utilizza quando il tasso di crescita di una [[grandezza fisica]] è [[proporzionalità (matematica)|proporzionale]] all'entità della grandezza stessa. Molte importanti equazioni differenziali danno origine a funzioni esponenziali, ad esempio l'[[equazione di Schrödinger]], l'[[equazione di Laplace]], o il [[moto armonico semplice]].

 

{{vedi anche|formula di Eulero}}

[[File:Euler's formula.svg|thumb|right|296px|Interpretazione geometrica della [[formula di Eulero]] sul [[piano complesso]].]]

Dal momento che <math>f</math> appartiene a <math>L^1(\R)</math>, l'integrale è ben definito per ogni numero reale. Come conseguenza del [[teorema di Plancherel]], la trasformata si può estendere in modo unico anche nello [[spazio di Hilbert]] <math>L^2</math>, tuttavia come funzione puntuale è definita [[quasi ovunque]] in tale insieme.<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 189|rudin}}</ref>

 

{{vedi anche|Funzione di matrice|Matrice esponenziale}}

L'associazione di una [[serie di Taylor]] all'esponenziale permette di estenderne il concetto ad ogni [[algebra di Banach]].