Differenze tra le versioni di "Numero surreale"

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In [[matematica]] i '''numeri surreali''' costituiscono un [[campo (matematica)|campo]]<ref name="nota_honest_field"> Nella formulazione originale, i surreali formano una [[classe (insiemistica)|classe]] propria, e non un [[insieme (insiemistica)|insieme]], quindi il termine "[[campo (matematica)|campo]]" non è del tutto corretto. Questo fatto può essere superato limitando la costruzione ad un [[universo di Grothendieck]], cosa che fornisce un [[insieme (insiemistica)|insieme]] avente come cardinalità un qualche [[cardinale fortemente inaccessibile]].
</ref> che contiene i [[numero reale|numeri reali]] e anche numeri infiniti e [[numero infinitesimo|infinitesimi]], rispettivamente maggiori o minori in [[valore assoluto]] di qualunque numero reale positivo. Per questo motivo i numeri surreali sono algebricamente simili ai numeri [[numero superreale|superreali]] e [[numero iperreale|iperreali]].
 
La definizione e la costruzione dei surreali sono dovute a [[John Horton Conway]], ed esemplificano la sua originalità e la sua inventiva. Furono introdotti da [[Donald Knuth]] in un libro del [[1974]] dal titolo ''Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness'' (non esiste una traduzione italiana del testo, il cui titolo significa ''Numeri surreali: come due ex-studenti scoprirono la matematica pura e raggiunsero la piena felicità''). Questo libro è un breve racconto matematico, e va notato che è uno dei rari casi in cui una nuova idea matematica viene prima presentata in un lavoro di fantasia. Nel suo libro, che ha la forma di dialogo, Knuth ha coniato il termine ''numero surreale'' per quegli oggetti che Conway, in origine, aveva semplicemente chiamato ''numeri''. A Conway piacque il nuovo nome tanto che, in seguito, lo adottò. Conway ha descritto i numeri surreali e li ha usati per analizzare i giochi nel suo libro del [[1976]] dal titolo ''[[On Numbers and Games]]''.
;'''Regola del confronto''': Per i numeri surreali ''x'' = { ''X<sub>L</sub>'' | ''X<sub>R</sub>'' } e ''y'' = { ''Y<sub>L</sub>'' | ''Y<sub>R</sub>'' } si ha che ''x'' ≤ ''y'' [[se e solo se]] ''y'' non è minore o uguale di alcun numero di ''X<sub>L</sub>'', e nessun membro di ''Y<sub>R</sub>'' è minore o uguale di ''x''.
 
Le due regole sono [[algoritmo ricorsivo|ricorsive]], dunque è necessaria una sorta di [[induzione matematica]] per poterle usare. Un'ovvia candidata sarebbe l'''induzione finita'', che consente di generare tutti i numeri che possono essere costruiti applicando la regola di costruzione un numero finito di volte, ma le cose diventano interessanti se si permette l'uso dell'[[induzione transfinita]]<ref> L'induzione transfinita richiede che non esistano successioni ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, ... tali che ''x''<sub>''i''+1</sub> sia una opzione di ''x''<sub>''i''</sub> per ogni ''i'' ≥ 0.</ref>, che permette di applicare la regola infinite volte. Se si vuole che i numeri generati rappresentino effettivamente dei numeri, allora l'ordinamento che viene definito su essi deve essere un [[ordine totale]]. Però la relazione ≤ definisce soltanto un [[preordine|preordinamento]] totale, e cioè non è [[relazione antisimmetrica|antisimmetrica]]. Per rimediare a questo fatto si definisce la [[relazione binaria]] == sui numeri surreali che vengono generati in modo tale che
 
: ''x'' == ''y'' [[Se e solo se|sse]] ''x'' ≤ ''y'' e ''y'' ≤ ''x''.
La prima osservazione fa sorgere il problema dell'interpretazione di queste nuove classi di equivalenza. Dato che l'interpretazione informale di { | '''-1''' } è "il numero precedente a -1", questo numero sarà chiamato '''-2''' e la sua classe di equivalenza verrà indicata con -2. Analogamente il numero { '''1''' | } sarà chiamato '''2''' e la sua classe di equivalenza 2. Il numero { '''-1''' | '''0''' } è un numero compreso tra '''-1''' e '''0''' e sarà chiamato '''-1/2''', e la sua classe di equivalenza -1/2. Infine il numero { '''0''' | '''1''' } viene chiamato '''1/2''' e la sua classe di equivalenza 1/2. Verranno date ulteriori giustificazioni a questi nomi una volta che saranno definite le operazioni di addizione e moltiplicazione.
 
La seconda osservazione fa sorgere il problema della validità della rappresentazione dei numeri surreali mediante le loro classi di equivalenza. La rappresentazione è valida perché si può dimostrare che
 
: se [''X<sub>L</sub>''] = [''Y<sub>L</sub>''] e [''X<sub>R</sub>''] = [''Y<sub>R</sub>''] allora [{ ''X<sub>L</sub>'' | ''X<sub>R</sub>'' }] = [{ ''Y<sub>L</sub>'' | ''Y<sub>R</sub>'' }]
dove ''X'' + ''y'' = { ''x'' + ''y'' | ''x'' appartiene a ''X'' } e ''x'' + ''Y'' = { ''x'' + ''y'' | ''y'' appartiene a ''Y'' }.
 
;'''Negazione''': -''x'' = { -''X<sub>R</sub>'' | -''X<sub>L</sub>'' }
 
dove -''X'' = { -''x'' | ''x'' appartenente ''X'' }
Un gioco composto da giochi più piccoli viene detto la [[somma disgiunta]] di quei giochi più piccoli, e il teorema afferma che il metodo di addizione definito prima è equivalente a prendere la somma disgiunta degli addendi.
 
Storicamente Conway sviluppò la teoria dei numeri surreali in modo inverso a come è stata presentata nel presente articolo. Egli stava analizzando le chiusure nel gioco del Go, e realizzòsi rese conto che sarebbe stato molto utile avere un qualche sistema per combinare le analisi di sotto-giochi non interagenti in una analisi della loro [[somma disgiunta]]. Da queste considerazioni egli inventò il concetto di Gioco e l'operatore di addizione tra essi. In seguito sviluppò la definizione di negazione e confronto. Poi notò che una certa classe di Giochi aveva delle proprietà interessanti: questa classe diventò la classe dei numeri surreali. Infine sviluppò l'operatore di moltiplicazione, e dimostrò che i surreali sono, in effetti, un campo, che include sia i reali che gli ordinali.
 
== Costruzione alternativa ==
 
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