Derivata direzionale: differenze tra le versioni
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:<math>D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{v}</math>
dove <math>\nabla</math> al secondo membro rappresenta il [[gradiente]], e <math>\cdot</math> il [[prodotto scalare]] [[Spazio euclideo|euclideo]].
{{cassetto|titolo = Dimostrazione|testo =
Essendo la funzione differenziabile in <math>\mathbf{x}</math> possiamo scrivere
:<math>f(\mathbf{x}+h\mathbf{v})=f(\mathbf{x})+\nabla f(\mathbf{x}) \cdot h\mathbf{v}+o(h)</math>
Portiamo poi <math>f(\mathbf{x})</math> a primo membro, otteniamo
:<math>f(\mathbf{x}+h\mathbf{v})-f(\mathbf{x})=\nabla f(\mathbf{x}) \cdot h\mathbf{v}+o(h)</math>
Possiamo sostituire tale differenza nel limite della definizione di derivata direzionale sopra ed ottenere la relazione con il gradiente
:<math>D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x})=\lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{x}+h\mathbf{v})-f(\mathbf{x})}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\nabla f(\mathbf{x}) \cdot h\mathbf{v}+o(h)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\nabla f(\mathbf{x}) \cdot h\mathbf{v}}{h}+\lim_{h \to 0} \frac{o(h)}{h}</math>
Vediamo che si può semplificare un <math>h</math> nel primo limite, inoltre è noto anche che
:<math>\lim_{h \to 0} \frac{o(h)}{h}=0</math>
Quindi infine si ottiene si ottiene
:<math>D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x})=\lim_{h \to 0} \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{v}=\nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{v}</math>
}}
Nello specifico, in <math>(x_0,y_0)</math> il prodotto scalare è dato da:
:<math>D_{\mathbf{v}} f(x_0, y_0) = \langle \nabla f(x_0,y_0) , \mathbf{v} \rangle = \lVert\nabla f(x_0,y_0) \rVert \cdot \lVert \mathbf{v} \rVert \ \cdot \ \cos \theta = \lVert \nabla f(x_0,y_0) \rVert \ \cdot \ \cos \theta</math>
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