Differenze tra le versioni di "Equazione funzionale di Cauchy"

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L''''equazione funzionale di Cauchy''' è l'[[equazione funzionale]] :
 
:<math> f(x+y)=f(x)+f(y). \ </math>
 
Una [[funzione (matematica)|funzione]] che soddisfa la suddetta equazione è definita [[funzione additiva|additiva]].
== Dimostrazione della soluzione sui numeri razionali ==
 
*Osserviamo Si osserva che
*:<math> f(a_1 + a_2 + \cdots + a_m) = f(a_1) + f(a_2 + a_3 + \cdots + a_m) ,\qquad \forall a_i \in \mathbb{Q}\ </math>
*:: <math> = f(a_1) + f(a_2) + f(a_3 + \cdots + a_m) </math>
*:::: <math> \vdots </math>
*:: <math> = f(a_1) + f(a_2) + f(a_3) + \cdots + f(a_m). </math>
*Poniamo Si ponga <math> a = a_1 = a_2 = \ldots = a_m. </math>. Si ottiene:
*: <math> f(ma) = mf(a), \qquad \forall m \in \mathbb{N}.\ </math>
*Notiamo Si nota anche che:
*:<math> f(a) = f \left ( n\frac{a}{n} \right )</math>
*:<math> f(a) = nf \left ( \frac{a}{n} \right ), \qquad \forall n \in \mathbb{N}</math> (come sopra)
*:<math> \frac{f(a)}{n}= f \left ( \frac{a}{n} \right ).</math>
*Combinando i due risultati precedenti:
*:<math> f\left (a \frac{m}{n} \right ) = mf\left (\frac{a}{n} \right ) </math>
*:: <math> =m \frac{f(a)}{n} </math>
*:: <math> =f(a) \frac{m}{n}. </math>
*Per <math> a = 1 </math> e ponendo <math> f(1) = c </math>, con <math>c \in \mathbb{Q}</math>, allora:
*:<math> f\left (\frac{m}{n} \right ) = c\frac{m}{n}. </math>
*Infine, poiché la dimostrazione precedente è valida solo per i razionali positivi, notiamosi nota che ponendo <math> y = -x </math> nell'equazione funzionale originaria, si ottiene:
*:<math> f(0) = f(x) + f(-x). \ </math>
*Ma ponendo <math> x = y = 0 </math> si ricava che <math> f(0) = 2f(0) \Rightarrowto 0 = f(0) </math>, e quindi <math> f(-x) = -f(x) </math>, ossia <math> f(x) </math> è [[funzione dispari|dispari]].
*:<math>Di \Rightarrowconseguenza, f(-x)per = -f(x),ogni </math> ossiaq <math>\in \mathbb{Q}, f(xq) = cq </math> è [[funzione dispari|dispari]].
*Di conseguenza, per ogni <math> q \in \mathbb{Q}, f(q) = cq. </math>
 
Si verifica facilmente, d'altronde, che tutte le funzioni di questa forma soddisfano effettivamente l'equazione iniziale. Vale infatti l'[[identità (matematica)|identità]]:
:<math>g(x + y) = g(x) + g(y)</math>
 
che, per l'ipotesi della continuità, è risolta da <math>g(x) = cx</math>, e quindi:
 
:<math>f(x) = e^{cx}</math>
=== <math>f(xy) = f(x) + f(y)</math> ===
 
Posto <math>x = e^u</math>, <math>y = e^v</math>, <math>f(e^x) = g(u)</math>, l'equazione diventa <math>f(e^{u + v}) = f(e^u) + f(e^v)</math>, ossia <math>g(u + v) = g(u) + g(v)</math>, quindi <math>g(x) = cx</math> e, infine, <math>f(x) = c \ln x</math>.:
 
:<math>f(e^{u + v}) = f(e^u) + f(e^v)</math>
 
ossia:
 
<math>g(u + v) = g(u) + g(v)</math>
 
quindi <math>g(x) = cx</math> e, infine, <math>f(x) = c \ln x</math>.
 
=== <math>f(xy) = f(x)f(y)</math> ===
 
Se ci limitiamolimitia a <math>x, y > 0</math>, allora, ponendo <math>x = e^u</math>, <math>y = e^v</math>, <math>f(e^u) = g(u)</math> otteniamosi ottiene: <math>f(e^{u+v}) = f(e^u)f(e^v)</math>, ossia <math>g(u+v) = g(u)g(v)</math> che, per quanto visto precedentemente, ha l'unica soluzione continua <math>g(u) = e^{cu}</math> e quindi <math>f(x) = f(e^u) = g(u) = (e^u)^c = x^c</math>, oltre alla soluzione banale in cui <math>f(x) = 0</math> per ogni <math>x</math>.
 
Se vogliamosi vuole risolvere l'equazione per ogni <math>x \neq 0</math>, <math>y \neq 0</math>, allora con le due sostituzioni <math>x = y = t</math> e <math>x = y = -t</math> (con <math>t > 0</math>) si ricava <math>f(t^2) = f^2(t)</math> e <math>f(t^2) = f^2(-t)</math>, da cui <math>f^2(t) = f^2(-t)</math> per ogni <math>t</math>. Allora, per ogni scelta di <math>t</math>, deve valere <math>f(-t) = f(t) = t^c</math> oppure <math>f(-t) = -f(t) = -t^c</math> (oltre, anche qui, al caso banale in cui <math>f(x) = 0</math> per ogni <math>x</math>). Supponendo la continuità, le soluzioni sono:
 
Se vogliamo risolvere l'equazione per ogni <math>x \neq 0</math>, <math>y \neq 0</math>, allora con le due sostituzioni <math>x = y = t</math> e <math>x = y = -t</math> (con <math>t > 0</math>) si ricava <math>f(t^2) = f^2(t)</math> e <math>f(t^2) = f^2(-t)</math>, da cui <math>f^2(t) = f^2(-t)</math> per ogni <math>t</math>. Allora, per ogni scelta di <math>t</math>, deve valere <math>f(-t) = f(t) = t^c</math> oppure <math>f(-t) = -f(t) = -t^c</math> (oltre, anche qui, al caso banale in cui <math>f(x) = 0</math> per ogni <math>x</math>). Supponendo la continuità, le soluzioni sono:
:<math>f(x) = {|x|}^c</math>
:<math>f(x) = \sgn x \cdot {|x|}^c</math>
:<math>f(x) = 0</math>.
 
dove <math>\sgn x</math> indica la [[funzione segno]], uguale a −1 per <math>x < 0</math>, ad 1 per <math>x > 0</math>.
 
==Collegamenti esterni==
 
*{{en}} [http://mathworld.wolfram.com/CauchyFunctionalEquation.html Cauchy Functional Equation] - La pagina di [[MathWorld]] sull'equazione funzionale di Cauchy.
*{{en}} [http://www.math.rutgers.edu/~useminar/cauchy.pdf The Cauchy equation] - Dall'University of New Brunswick.
 
== Bibliografia ==
 
*A. Engel, ''Problem-Solving Strategies'', Springer, New York, 1999, ISBN 0387982191
*M. Kuczma, ''A survey of the theory of functional equations'', Univ. Beograd. Publ. Elektrotchn. Fak. Ser. Mat. Fiz. 130 (1964), 64 pp. [http://pefmath2.etf.bg.ac.rs/pages/browse_issue.php?referrer=4&srs=old&start=30&rbr=50-109 versione online]
 
==Voci correlate==
* [[Equazione funzionale]]
* [[Funzione additiva]]
 
==Collegamenti esterni==
*{{en}} [http://mathworld.wolfram.com/CauchyFunctionalEquation.html Cauchy Functional Equation] - La pagina di [[MathWorld]] sull'equazione funzionale di Cauchy.
*{{en}} [http://www.math.rutgers.edu/~useminar/cauchy.pdf The Cauchy equation] - Dall'University of New Brunswick.
 
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