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Ago di Buffon: differenze tra le versioni

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Il problema in termini matematici è: dato un ago di lunghezza <math>\ell</math> lanciato su un piano con linee parallele a distanza <math>t</math>, qual è la probabilità che esso intersechi una linea?
 
Sia <math>t\ge\ell</math>, e sia ''x'' la distanza del centro dell'ago rispetto alla linea più vicina, e sia ''θ'' l'[[angolo acuto]] tra l'ago e le linee.▼
Si distinguono due casi, <math>t\ge\ell</math> e <math>t<\ell</math>.▼
 
▲Sia <math>t\ge\ell</math>, e sia ''x'' la distanza del centro dell'ago rispetto alla linea più vicina, e sia ''θ'' l'[[angolo acuto]] tra l'ago e le linee.
 
La [[funzione di densità di probabilità]] di ''x'' fra 0 e ''t''/2 sarà
Line 21 ⟶ 19:
:<math> \frac{2}{\pi}\,d\theta. </math>
 
Le [[coordinate generalizzate]] ''x'' e ''θ'' sono [[variabile aleatoria|variabili aleatorie]] fra loro indipendenti, e quindi la densità di probabilità si fattorizza nel prodotto:
 
:<math> f(x,\theta) \,dx\,d\theta = \frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta. </math>
 
L'ago attraversa una linea se
Line 29 ⟶ 27:
:<math>x \le \frac{\ell}{2}\sin\theta.</math>
 
Integrando la densità di probabilità si ottiene la probabilità che l'ago attraversi una linea se <math>t \ge \ell</math>:.
 
▲Si distinguono allora due casi, <math>t\ge\ell</math> e <math>t<\ell</math>.
 
quandoSe <math>t <\ge \ell</math> l'integrale è:▼
 
:<math>p = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{(\ell/2)\sin\theta} \frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta = \frac{2\ell}{t\pi}.</math>
Line 37 ⟶ 39:
:<math>\pi = \frac{2p{\ell}}{t}.</math>
 
A posteriori conviene riferirsi non alle due variabili distanza fra le rette e lunghezza dell'ago, ma solamente al loro rapporto:
dalla [[definizione frequentista di probabilità]] di intersezione come limite della frequenza relativa di intersezione (rapporto fra il numero ''m'' di esperimenti in cui avviene l'intersezione e numero ''n'' degli esperimenti totali) per infiniti esperimenti:▼
 
<math>a = \frac{t}{\ell}</math>
 
per cui il caso che stiamo analizzando è quello in cui <math>a \ge 1</math>
 
:<math>\pi = \frac {2p}{a}</math>
 
▲dallaDalla [[definizione frequentista di probabilità]] di intersezione come limite della frequenza relativa di intersezione (rapporto fra il numero ''m'' di esperimenti in cui avviene l'intersezione e numero ''n'' degli esperimenti totali) per infiniti esperimenti:
 
:<math>p = \lim_{n \to \infty} \frac m n</math>
Line 43 ⟶ 53:
si deduce che:
 
:<math>\pi = \frac{ 2{\ell}}{t} a \lim_{n \to \infty} \frac m n.</math>
 
ovvero se il numero di esperimenti è abbastanza grande (appartiene ad un [[intorno]] di infinito):
 
:<math>\pi \sim \frac{ 2{\ell}}{t} a \frac m n \qquad n \in I(\infty)</math>
 
SiaNell'altro caso invece, in oracui <math>t <a \ellle 1</math>., Inil questodominio caso,di l'integrazione dellaè diverso:
funzione di densità di probabilità diventa:
 
:<math>p = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{m(\theta)} \frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta ,</math>
dove <math>m(\theta) </math> è il minimo tra
<math>(\ell/2)\sin\theta</math> e <math>t/2 </math>.
 
Risolvendo l'integrale, si ottiene chequindi la probabilità che l'ago attraversi unacambia: linea
 
▲quando <math>t < \ell</math> è
:<math> p = \frac{2 }{\pi} \left( \frac{1 - \sqrt{1 - a^2}}{a} - \sin^{-1}\left(a \right) \right) +1.</math>
 
ovvero pi greco è legato più propriamente alla probabilità di non intersezione (1-p):
 
:<math>\pi = \frac{2}{1-p} \left(\sin^{-1}\left(a \right) - \frac{(1 - \sqrt{1 - a^2})}{a} \right)</math>
 
e secondo un ragionamento analogo a quello compiuto nell'altro caso si stima come:
 
:<math> \frac{2\ell}{t\pi} -= \frac{22n}{t\pi}\left\{\sqrt{\ell^2 n- t^2m} + t\left(\sin^{-1}\left(a \right) - \frac{t(1 - \sqrt{1 - a^2})}{\ella} \right) \rightqquad n \}+1.in I(\infty)</math>
 
== La stima di Lazzarini ==
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Ago_di_Buffon"