Differenze tra le versioni di "Ago di Buffon"

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== La stima di Lazzarini ==
 
Il matematico italiano [[Mario Lazzarini]] realizzò l'esperimento dell'ago di Buffon nel [[1901]]. Lanciandocon un3408 ago 3408casi voltetotali, ottenneottenendo per π la nota stima 355/113. perQuesto π,valore cheha èprecisione unsuperiore valorea molto3×10<sup>−7</sup>; accuratoin effetti, differendonon dac'è πapprossimazione perrazionale nonmigliore piùcon meno di 3×10<sup>−7</sup>cinque cifre nel numeratore e denominatore. È un risultato impressionante, ma frutto di almeno un truccovizio logico.
 
Lazzarini infatti scelse una spaziatura adimensionale pari a 6/5, per cui la sua stima risultava in generale:
Lazzarini scelse aghi la cui lunghezza fosse 5/6 della larghezza di una striscia di legno. In queste condizioni, la probabilità che l'ago intersechi le linee vale 5/3π. Quindi se si lanciano ''n'' aghi e si ottengono ''x'' incroci con le linee, si può stimare π tramite
 
:<math>\frac m n \sim \frac 3 5 \pi.</math>
:π ≈ 5/3 · ''n''/''x''
 
la scelta è assolutamente legittima; il fatto è però che egli volendo ottenere esattamente 355/133, calcolò che doveva ottenere un numero di casi favorevoli:
π è molto vicino a 355/113; in effetti, non c'è approssimazione razionale migliore con meno di cinque cifre nel numeratore e denominatore. Così se si hanno ''n'' e ''x'' tali che:
 
:<math>m \sim \frac 3 5 \frac 355 133 n = 113 \frac n 213.</math>
:355/113 = 5/3 · ''n''/''x''
 
Naturalmente il numero di casi favorevoli m è sempre intero, quindi non si può ottenere esattamente la stima 355/133 se ''n'' non è un multiplo di 213. D'altra parte scegliendo di effettuare solo 213 esperimenti e dicendo di avere ottenuto 113 esiti favorevoli il vizio si palesa molto in fretta. Per camuffare conviene quindi scegliere un multiplo abbastanza alto: in effeti 3408 è 16 volte 213, quindi potrebbe essere stato scelto sulla base del risultato influenzandolo. Senza sapere prima il risultato da ottenere non c'è alcuna ragione per scegliere di effettuare 3408 piuttosto che qualsiasi altro numero di esperimenti.
o equivalentemente,
 
Come secondo vizio egli ripetè quasi sicuramente la prova finché gli capitò m esattamente pari a 1808, ovvero 16 volte 113: la probabilità di ottenere al primo colpo 1808 con 3408 casi è bassissima. La probabilità di ottenere esattamente il numero di casi favorevoli per farsi tornare i conti è in effetti 1/n, quindi per sperare di ottenerlo effettuando realmente la prova non conviene scegliere un numero troppo alto di casi altrimenti si rischia di buttare via un sacco di tempo in esperimenti che non danno il rapporto voluto prima di arrivare a quello fatale.
:''x'' = 113''n''/213
 
Supponendo invece che Lazzarini fosse in buona fede e abbia semplicemente avuto fortuna, scegliendo il numero dei casi senza il vincolo sul risultato da ottenere ed effettuando una sola volta l'esperimento da 3408 casi ottenendo proprio 1808, il vizio riguarda la ''ripetibilità''. Se lui o chiunque altro ripetesse l'esperimento con questa procedura con 3408 casi, quasi sicuramente otterrebbe un numero troppo diverso per potere affermare di avere la precisione sul risultato anche solo di una cifra significativa.
è possibile ricavare un'approssimazione inaspettatamente buona di π, semplicemente perché la frazione 355/113 è così vicina al valore corretto. Questo si può ottenere facilmente prendendo ''n'' multiplo di 213, perché allora 113''n''/213 è un intero; si lanciano allora ''n'' aghi, e si spera di ottenere ''x'' = 113''n''/213 successi.
 
Se si lanciano 213 aghi e si ottengono 113 successi, si può dichiarare una stima accurata di π fino alla sesta cifra decimale. Altrimenti, si possono fare altri 213 tentativi e sperare in 226 successi; si ripete la procedura fino a quando non si ottiene il risultato desiderato. Lazzarini realizzò 3408 = 213 · 16 tentativi, facendo apparire la propria strategia come una "stima".
 
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