Criterio di Sylvester: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
→Il criterio: + dim da en |
ortografia |
||
Riga 21:
:dove <math>\lambda_i \ge 0</math> per ogni ''i'' se <math>B</math> è non singolare.
:Per ottenere l'implicazione inversa, si nota che se <math>A</math> può essere fattorizzata come <math>A=B^T B</math> allora tutti gli autovalori di <math>A</math> sono non negativi
:<math>\lambda = {\frac{x^TAx}{x^Tx}}={\frac{x^TB^TBx}{x^Tx}}={\frac{||Bx||^2}{||x||^2}} \ge 0</math>
Riga 67:
0 & 0 & . & r_{nn} \end{bmatrix}</math>
:dove <math>L</math> è triangolare inferiore con una diagonale di tutti 1 e <math>D</math> è una matrice diagonale la cui diagonale è composta dagli elementi <math>r_{ii} </math>. Di conseguenza, <math>A=LD^2 L^T</math> è la fattorizzazione <math>LDU</math> di <math>A</math>, e così i pivot devono essere positivi
* Teorema 3: Sia <math>A_k</math> la principale sottomatrice di guida di dimensione <math>k \times k</math> di <math>A_{n \times n}</math>. Se <math>A</math> posside una fattorizzazione LU allora <math>\det (A_k)=u_{11} \cdot u_{22} \cdot \dots u_{kk}</math> e il ''k''-esimo pivot è <math>u_{kk} = \det (A_1)=a_{11}</math> per <math>k=1</math>, mentre è <math>u_{kk} = \det (A_k) / \det (A_{k-1})=a_{11}</math> per <math>k=2,3, \dots, n</math>.
| |||