Differenze tra le versioni di "Sviluppo piano di un poliedro"

aggiunta di sottoalbero spanning - involuzione per poliedri con simmetria per riflessione
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(aggiunta di sottoalbero spanning - involuzione per poliedri con simmetria per riflessione)
Il termine ''sviluppo piano di un poliedro'' spesso viene accorciato in '''sviluppo di un poliedro'''; termine equivalente derivato dall'inglese è '''net di un poliedro'''.
 
Ciascuno degli sviluppi N(P) di un poliedro P le cui facce consideriamo distinguibili, ovvero etichettate, corrisponde biunivocamente all'[[albero disteso]] costituito dagli spigoli sui quali si sono praticati i tagli (ciascuno di essi individuato dalle etichette delle due facce). Tale albero si dice '''albero dei tagli''' dello sviluppo N(P). Esso corrisponde ad un [[sottoalbero spanning]] del [[grafo poliedrale]] del poliedro P, in quanto per trasformare la superficie di un poliedro in uno sviluppo piano il complesso degli spigoli tagliati deve toccare tutti i vertici del poliedro: in caso contrario le facce che incidono in un vertice non raggiunto dai tagli non potrebbero venire distese.
 
Un altro albero disteso associato a N(P) si ottiene facendo corrispondere un nodo ad ogni faccia e uno spigolo ad ogni spigolo di P non tagliato e quindi facente da saldatura fra due facce. Tale albero si dice '''albero delle facce''' dello sviluppo N(P).
 
Ci si rende conto facilmente, ad es. prendendo in esame qualche sviluppo di un cubo o di una piramide a base quadrata, che l'albero dei tagli di uno sviluppo N(P) è l'albero delle facce di uno sviluppo del poliedro duale di P, che denotiamo P'*. Più completamente si osserva che ad uno sviluppo piano di un poliedro P corrisponde uno '''sviluppo piano duale''' del poliedro duale P'*.
 
Più sostanziali degli sviluppi dei poliedri etichettati, soprattutto per poliedri dotati di buona simmetria e in particolare per i [[solidi platonici]] , sono le classi di sviluppi equivalenti per sovrapposizione. Per la precisione occorre distinguere fra due equivalenze per sovrapposizione fra sviluppi di poliedri. Diciamo ''sovrapponibili nel piano'' due sviluppi che si possono "sovrapporre materialmente" effettuando rotazioni e traslazioni nel piano. Diciamo ''sovrapponibili nello spazio'' due sviluppi che si possono "sovrapporre materialmente" effettuando spostamenti rigidi nello spazio, ovvero rototraslazionirotazioni, traslazioni e riflessioni nel piano.
Nei due casi parliamo rispettivamente di RT-equivalenza fra sviluppi di un poliedro e di RTM-equivalenza. fra sviluppi di un poliedro (la M vuole ricordare la mirror symmetry).
I membri di una coppia di sviluppi ottenibili l'uno dall'altro per riflessione nel piano che non sono RT-equivalenti sono invece RTM-equivalenti.
 
Nel caso di un poliedro che presenti una simmetria per riflessione rispetto ad un piano (poliedri regolari, piramidi, prismi, ...) nell'insieme degli sviluppi piani si ha una [[involuzione (funzione)|involuzione]] indotta '''I''' rispetto alla quale si individuano sviluppi piani che presentano una [[simmetria per riflessione]] (punti fissi della '''I''') e coppie di sviluppi i cui elementi sono ottenibili l'uno dall'altro in seguito ad una riflessione nel piano (coppie duali della '''I'''). I due sviluppi di una coppia duale non sono RT-equivalenti ma sono RTM-equivalenti.
Nel caso del cubo si trovano 20 classi di RT-equivalenza di sviluppi e 11 classi di RTM-equivalenza. In breve si trovano 20 sviluppi di cui solo due sono invarianti per riflessione piana, ovvero presentano [[simmetria assiale]].
 
== Sviluppi del cubo ==
 
Nel caso del cubo si trovano 20 classi di RT-equivalenza di sviluppi e 11 classi di RTM-equivalenza. In brevealtre parole si trovano 20 sviluppi di cui solo due2 sono invarianti per riflessione piananel piano, ovvero costituiscono figure piane che presentano una [[simmetria assialeper riflessione]] e 18 si collocano in 9 coppie duali.
 
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[[Categoria:Poliedri]]