Differenze tra le versioni di "Sviluppo piano di un poliedro"

tutti gli sviluppi del cubo
(aggiunta di sottoalbero spanning - involuzione per poliedri con simmetria per riflessione)
(tutti gli sviluppi del cubo)
 
Il termine ''sviluppo piano di un poliedro'' spesso viene accorciato in '''sviluppo di un poliedro'''; termine equivalente derivato dall'inglese è '''net di un poliedro'''.
 
== Sviluppi, alberi e dualità ==
 
Ciascuno degli sviluppi N(P) di un poliedro P le cui facce consideriamo distinguibili, ovvero etichettate, corrisponde biunivocamente all'[[albero disteso]] costituito dagli spigoli sui quali si sono praticati i tagli (ciascuno di essi individuato dalle etichette delle due facce). Tale albero si dice '''albero dei tagli''' dello sviluppo N(P). Esso corrisponde ad un [[sottoalbero spanning]] del [[grafo poliedrale]] del poliedro P, in quanto per trasformare la superficie di un poliedro in uno sviluppo piano il complesso degli spigoli tagliati deve toccare tutti i vertici del poliedro: in caso contrario le facce che incidono in un vertice non raggiunto dai tagli non potrebbero venire distese.
 
Ci si rende conto facilmente, ad es. prendendo in esame qualche sviluppo di un cubo o di una piramide a base quadrata, che l'albero dei tagli di uno sviluppo N(P) è l'albero delle facce di uno sviluppo del poliedro duale di P, che denotiamo P*. Più completamente si osserva che ad uno sviluppo piano di un poliedro P corrisponde uno '''sviluppo piano duale''' del poliedro duale P*.
 
== Classi di equivalenza degli sviluppi ==
 
Più sostanziali degli sviluppi dei poliedri etichettati, soprattutto per poliedri dotati di buona simmetria e in particolare per i [[solidi platonici]], sono le classi di sviluppi equivalenti per sovrapposizione. Per la precisione occorre distinguere fra due equivalenze per sovrapposizione fra sviluppi di poliedri. Diciamo ''sovrapponibili nel piano'' due sviluppi che si possono "sovrapporre materialmente" effettuando rotazioni e traslazioni nel piano. Diciamo ''sovrapponibili nello spazio'' due sviluppi che si possono "sovrapporre materialmente" effettuando spostamenti rigidi nello spazio, ovvero rotazioni, traslazioni e riflessioni nel piano.
Nel caso del cubo si trovano 20 classi di RT-equivalenza di sviluppi e 11 classi di RTM-equivalenza. In altre parole si trovano 20 sviluppi di cui 2 sono invarianti per riflessione nel piano, ovvero costituiscono figure piane che presentano una [[simmetria per riflessione]] e 18 si collocano in 9 coppie duali.
 
************* *****
* * * * * *
* * * * * *
************* *************
* * * * * *
* * * * * *
***** *************
* * * *
* * * *
***** **** *
* * * *
* * * *
***** *****
 
 
********* *********
* * * * * *
* * * * * *
************* *************
* * * * * *
* * * * * *
********* *********
* * * *
* * * *
***** *****
* * * *
* * * *
***** *****
 
 
 
 
***** *****
* * * *
* * * *
************* *************
* * * * * * * *
* * * * * * * *
************* *************
* * * *
* * * *
***** *****
* * * *
* * * *
***** *****
 
 
***** *****
* * * *
* * * *
********* *********
* * * * * *
* * * * * *
************* *************
* * * * * *
* * * * * *
********* *********
* * * *
* * * *
***** *****
 
 
***** *****
* * * *
* * * *
********* *********
* * * * * *
* * * * * *
********* *********
* * * *
* * * *
********* *********
* * * * * *
* * * * * *
********* *********
 
 
********* *********
* * * * * *
* * * * * *
********* *********
* * * *
* * * *
***** *****
* * * *
* * * *
********* *********
* * * * * *
* * * * * *
********* *********
 
 
 
********* *********
* * * * * *
* * * * * *
********* *********
* * * *
* * * *
********* *********
* * * * * *
* * * * * *
********* *********
* * * *
* * * *
***** *****
 
 
 
***** *****
* * * *
* * * *
********* *********
* * * * * *
* * * * * *
************* *************
* * * * * *
* * * * * *
********* *********
* * * *
* * * *
***** *****
 
 
***** *****
* * * *
* * * *
********* *********
* * * * * *
* * * * * *
************* *************
* * * * * *
* * * * * *
********* *********
* * * *
* * * *
***** *****
 
 
 
***** *****
* * * *
* * * *
***** *****
* * * *
* * * *
********* *********
* * * * * *
* * * * * *
********* *********
* * * *
* * * *
***** *****
* * * *
* * * *
***** *****
 
 
[[Categoria:Poliedri]]