Relazione di equivalenza: differenze tra le versioni

:<math>A\times B :=\{(a,b) : a \in A , b\in B\} \ </math>

:<math>(x,y) \in R \ </math>

Una relazione di equivalenza <math>\sim</math> (che si legge "equivalente a", procedendo da sinistra verso destra) è una [[relazione binaria]] tra elementi di un insieme <math>A</math> [[Relazione riflessiva|riflessiva]], [[Relazione simmetrica|simmetrica]] e [[Relazione transitiva|transitiva]].<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 2|reed}}</ref> Esplicitamente, tale relazione soddisfa le seguenti proprietà:

* Se ''<math>X''</math> è l'insieme di tutte le automobili e ~<math>\sim</math> è la relazione di equivalenza "ha lo stesso colore di", allora una classe di equivalenza sarà quella delle automobili verdi. ''<math>X'' / ~\sim</math> potrebbe essere identificata intuitivamente con l'insieme dei colori delle automobili

* ConsideriamoSi consideri la relazione di equivalenza "[[aritmetica modulare|modulo]] 2" nell'insieme degli [[numeri interi|interi]]: ''<math>x'' ~\sim ''y''</math> [[se e solo se]] ''<math>x'' -\sim ''y''</math> è un [[numero pari|pari]]. Questa relazione dà origine ad esattamente due classi di equivalenza: [0] contiene tutti i numeri pari, mentre [1] contiene tutti i numeri dispari

* I [[numeri razionali]] possono essere costruiti come l'insieme delle classi di equivalenza di coppie pari di interi <math>(''a'',''b'')</math>, con ''<math>b''</math> diverso da zero, dove la relazione di equivalenza è definita come:

*: <math>(''a'',''b'') ~\sim (''c'',''d'')</math> se e solo se ''<math>ad'' = ''bc''</math>.

: la classe di equivalenza a cui appartiene <math>(''a'',''b'')</math> può essere identificata con la frazione ''<math>a''/''b''</math>.

* Qualunque [[funzione (matematica)|funzione]] ''<math>f'' : ''X'' →\to ''Y''</math> definisce una relazione di equivalenza su ''<math>X''</math> secondo cui ''<math>a'' ~\sim ''b''</math> (con ''<math>a'', ''b'' ∈\in ''X''</math>) se e solo se ''<math>f''(''a'') = ''f''(''b'')</math>. La classe di equivalenza di ''<math>a''</math> è quindi la [[controimmagine]] di ''<math>f''(''a'')</math>.

* Dato un [[gruppo (matematica)|gruppo]] ''<math>G''</math> ed un [[sottogruppo]] ''<math>H''</math>, è possibile definire una relazione di equivalenza su ''<math>G''</math> come ''<math>x'' ~\sim ''y''</math> se e solo se ''xy''<supmath>&nbsp;xy^{-1</sup>} ∈\in ''H''</math>. Le classi di equivalenza prendono il nome di [[Classe laterale|laterali]] destri di ''<math>H''</math> in ''<math>G''</math>. Se ''<math>H''</math> è un [[sottogruppo normale]], allora l'insieme di tutti i laterali è esso stesso un gruppo, detto [[gruppo quoziente]]

* La classe di [[omotopia]] di una [[funzione continua]] ''<math>f''</math> è la classe di equivalenza di tutte le funzioni omotopiche a ''<math>f''</math>

Ogni elemento ''<math>a'' di\in ''A''</math> appartiene necessariamente ad almeno una classe di equivalenza (la <math>[''a'']</math>, a causa della riflessività). Inoltre non può appartenere a nessun altro insieme, perché tutti gli elementi di una certa classe di equivalenza ''<math>X''</math> contenente ''<math>a''</math> sarebbero per definizione equivalenti ad un elemento ''<math>b'' di\in ''X''</math>: si avrebbe dunque ''<math>a'' ~\sim ''b''</math>. Ma sempre per definizione:

# per ogni elemento ''<math>x'' di\in ''X''</math>, ''<math>x'' ~\sim ''b'' ⇒\rightarrow ''x'' ~\sim ''a''</math> (per la simmetria e transitività)

# per ogni elemento ''<math>y'' di\in [''a'']</math>, ''<math>y'' ~\sim ''a'' ⇒\rightarrow ''y'' ~\sim ''b''</math> (per la transitività)

cioè, ogni elemento di ''<math>X''</math> apparterrebbe ad <math>[''a'']</math> e viceversa ogni elemento di <math>[''a'']</math> apparterrebbe ad ''<math>X''</math>: dunque ''<math>X'' = [''a'']</math>.

In definitiva, ogni elemento di ''<math>A''</math> appartiene sicuramente ad una classe di equivalenza (onde per cui l'insieme quoziente definisce come si dice una ''copertura'' di ''<math>A''</math>), e ad una sola di esse, che dunque risulteranno a due a due disgiunte: l'insieme quoziente su <math>A</math> definisce quindi una partizione di <math>A</math>.

Viceversa, si mostra che ad ogni partizione dell'insieme ''<math>A''</math> si associa una e una sola relazione di equivalenza, quella definita in maniera tale che due elementi stiano in tale relazione se e solo se appartengono allo stesso insieme della partizione. Detto in altri termini, data una partizione ''<math>S''</math>, esiste ed è unica la relazione di equivalenza ~ tale che l'insieme quoziente {{Tutto attaccato|''<math>A''/ \sim</ ~}}math> sia uguale ad ''<math>S''</math>.<ref>Wallace, D. A. R., 1998. ''Groups, Rings and Fields''. p. 31, Th. 8. Springer-Verlag</ref><ref>Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. ''Abstract Algebra'', 3ª ed. p. 3, Prop. 2. John Wiley & Sons</ref>: essa è definita in simboli da

;{{cassetto|titolo=Dimostrazione|testo=

ma sappiamosi sa dalla definizione dell'insieme delle parti che una partizione rispetto ad un'altra partizione non può avere nessun elemento in comune quindi X∩Y=&empty; per questa ragione l'elemento y fa dedurre che X=Y ciò comporta che:

AbbiamoSi è così individuatoindividuata una sorta di corrispondenza uno -a -uno tra la classe delle relazioni di equivalenza e quella delle possibili partizioni in insiemi. Si dice che tra le relazioni di equivalenza e le partizioni di un insieme esiste un [[criptomorfismo]]; in altre parole le due classi, quella delle classi di equivalenza e quella delle partizioni, stanno in una speciale relazione nella quale ogni elemento della prima classe corrisponde ad uno e un solo elemento della seconda. PossiamoSi inpuò altre paroledunque considerare la possibilità di trattare lo stesso problema dal punto di vista delle relazioni di equivalenza o da quello delle partizioni, come è naturale per tutti i criptomorfismi.

Ogni [[Teoria|teoria matematica]] comprende determinate proprietà e relazioni. Data una certa relazione di equivalenza, proprietà e relazioni che non distinguono tra di loro gli oggetti appartenenti ad una medesima classe di equivalenza prendono il nome di ''invarianti di classe''. Il perché di tale denominazione è evidente: si tratta infatti di strutture [[Invarianza (matematica)|invarianti]] rispetto alla relazione di equivalenza o partizione adottata. In simboli, una proprietà ''<math>P''</math> è detta un invariante di classe quando ''<math>a'' ~\sim ''b''</math> implica necessariamente che ''<math>P(a)''</math> e ''<math>P(b)''</math> abbiano lo stesso valore di verità; una definizione analoga vale per le relazioni (e quindi ad esempio anche per le [[Funzione (matematica)|funzioni]]; in particolare, se una funzione ''<math>f''</math> è invariante rispetto alla relazione considerata, allora risulterà senz'altro ben definita sull'insieme quoziente la funzione ''<math>g''(''P'')=''f''(''x'')</math> dove ''<math>x''</math> è un qualsiasi rappresentante della classe ''<math>P''</math>, in quanto ''<math>f''</math> assume lo stesso valore su ogni rappresentante di quella classe. In questo caso, si dice anche che ''<math>f''</math> ''passa al quoziente''<ref>[[Garrett Birkhoff]] e [[Saunders Mac Lane]], 1999 (1967). ''Algebra'', 3ª ed. p. 35, Th. 19. Chelsea</ref>).

Nel caso in cui un insieme ha qualche struttura addizionale preservata dalla relazione (ad esempio [[Algebra|algebrica]]: si veda a proposito la voce "[[relazione di congruenza]]"), il relativo quoziente diventa un oggetto dello stesso tipo in modo naturale; la [[funzione (matematica)|funzione]] che manda ''<math>a''</math> in <math>[''a'']</math> è allora un [[epimorfismo]].

L'espressione "a meno di" inserita in un contesto matematico presuppone l'esistenza di un'equivalenza, e sta a indicare che i membri di una stessa classe vengono considerati una sola entità nella trattazione, a meno appunto di differenze che in quella sede non interessano; solo quelle tra classi di oggetti (che vengono trattati come singoli elementi) sono rilevanti. Ad esempio, in [[geometria proiettiva]] dire che un punto determina univocamente un set di [[coordinate omogenee]] "a meno di proporzionalità", vuol dire che tale punto individua un'intera classe di coordinate che differiscono solo per un coefficiente proporzionale, e che ogni membro di quella classe è ugualmente valido per descrivere il punto. Soprattutto in [[aritmetica modulare]], ma anche in altri settori, è spesso usato il termine "modulo" come sinonimo del precedente: un esempio potrebbe essere la frase «3 ''modulo'' 2», che sta a indicare tutti i naturali che differiscono da 3 per un multiplo di 2 (essenzialmente tutti i numeri dispari), oppure «la classe dei [[Cammino (topologia)|cammini]] a valori in <math>X</math> ''modulo'' l'[[omotopia]]».

* {{en}}{{cita libro | cognome= Reed | nome= Michael |coautori= Barry Simon | titolo= Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis| editore= Academic press inc.|ed = riveduta| città= San Diego, California| anno= 1980|ed=2|id= ISBN 0125850506|cid =reed }}