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Dimensione (spazio vettoriale): differenze tra le versioni

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In [[matematica]], la '''dimensione''' di uno [[spazio vettoriale]] è la [[cardinalità]] (cioè il numero di elementi) di una sua [[base (algebra lineare)|base]], cioèovvero è il numero di [[vettore (matematica)|vettori]] che la compongono.<ref>{{Cita|Lang, S.|p. 49|lang}}</ref> È talvolta chiamata '''dimensione di Hamel''' o '''dimensione algebrica''', per distinguerla da altri tipi di [[dimensione]].
 
Tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, (vedicome stabilisce il [[teorema della dimensione diper unospazi spazio vettorialevettoriali]]), e quindidunque la dimensione di uno spazio vettoriale è unicamenteunivocamente definita. La dimensione di uno spazio vettoriale <math>V</math> sul [[campo (matematica)|campo]] <math>F</math> è scritta come <math>\dim_F(V)</math>.
 
Si dice che <math>V</math> è ''finito-dimensionale'' o ''infinito-dimensionale'' se la dimensione di <math>V</math> è rispettivamente finita o infinita.
 
== Esempi ==
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In alternativa, si può considerare la traccia di operatori su spazi infinito-dimensionali: in tal caso una traccia (finita) è definita, anche se in assenza di una dimensione specificata, e fornisce una nozione di "dimensione dell'operatore". Tali problematiche si affrontano nello studio degli operatori di [[classe traccia]] (operatori nucleari) su [[spazio di Hilbert|spazi di Hilbert]] o [[spazio di Banach|spazi di Banach]].
 
Una sottile generalizzazione si ottiene considerando la traccia di una famiglia di operatori, come spesso avviene nella [[teoria delle rappresentazioni]]. In tale contesto, il [[carattere (matematica)|carattere]] di una rappresentazione è la traccia della rappresentazione, e dunque una funzione <math>\chi\colon G \to K</math> a valori in un campo di scalari <math>K</math> definita su un [[gruppo (matematica)|gruppo]] <math>G</math>, il cui valore sull'identità <math>1 \in G</math> è la dimensione della rappresentazione, mappa l'identità di <math>G</math> nella [[matrice identità]]:
 
:<math>\chi(1_G) = \operatorname{tr}\ I_V = \dim V</math>
<!--
A subtler generalization is to consider the trace of a ''family'' of operators as a kind of "twisted" dimension. This occurs significantly in [[representation theory]], where the [[Character (mathematics)|character]] of a representation is the trace of the representation, hence a scalar-valued function on a [[group (mathematics)|group]] <math>\chi\colon G \to K,</math> whose value on the identity <math>1 \in G</math> is the dimension of the representation, as a representation sends the identity in the group to the identity matrix: <math>\chi(1_G) = \operatorname{tr}\ I_V = \dim V.</math> One can view the other values <math>\chi(g)</math> of the character as "twisted" dimensions, and find analogs or generalizations of statements about dimensions to statements about characters or representations. A sophisticated example of this occurs in the theory of [[monstrous moonshine]]: the [[j-invariant|''j''-invariant]] is the [[graded dimension]] of an infinite-dimensional graded representation of the [[Monster group]], and replacing the dimension with the character gives the [[McKay–Thompson series]] for each element of the Monster group.<ref>{{Harv|Gannon|2006}}</ref>
-->
==Note==
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Dimensione_(spazio_vettoriale)"