Differenze tra le versioni di "Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy"

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==== Prima dimostrazione ====
 
Sia <math>\delta < \min \left\{a, \tfrac{1}{L}, \tfrac{b}{M} \right\}</math> con <math>M = \max \{ |f(x,y)|: (x,y) \in I \times J\}</math>. Si noti che <math>M \in \mathbb{R}</math> per il [[teorema di Weierstrass]] (poiché <math>I \times J</math> è [[spazio compatto|compatto]]). Nel caso in cui <math>M=0</math>, ovvero qualora <math>f</math> sia identicamente nulla, il sistema ammette come unica soluzione la [[funzione costante]] <math>y(x)=y_0</math>, quindi si può supporre <math>M \ne 0</math>.
 
Sia <math>I_\delta =[x_0-\delta,x_0+ \delta]</math>. PossiamoSi può considerare lo [[spazio metrico]] <math>(X,\| \cdot \|_{C^{0}})</math> delle funzioni <math>g: I_\delta \to \R^n</math> continue con la [[norma dell'estremo superiore]], ed una [[palla (matematica)|palla]] al suo interno, definita da <math>B = \{g \in X: \|g - y_0\|_{C^{0}} \leq b\}</math>.
 
Essendo lo [[spazio (matematica)|spazio]] <math>X</math> [[Spazio completo|completo]], e <math>B \subseteq X</math> [[insieme chiuso|chiuso]], allora anche quest'ultimo risulta essere uno [[spazio completo]] rispetto alla [[metrica|metrica indotta]].
 
Si procede quindi definendo l'[[operatore (matematica)|operatore]] <math>F: B \to B</math>, detto "operatore di [[Vito Volterra|Volterra]]", tale che <math>F(y) = \widehat{y}</math>, dove:
 
:<math>\widehat{y} = y_0 + \int_{x_0}^x f (t,y(t))\mathrm{d}t</math>
 
Detto "operatore di [[Vito Volterra|Volterra]]". Si nota innanzitutto che <math>F</math> è ben definito, ossia che <math>\forall y \in B</math> si ha <math>F(y) \in B</math>. Infatti:
 
:<math>|\widehat{y} - y_0| = \left|\int_{x_0}^xf(t,y(t))\mathrm{d}t\right| \leq \left|\int_{x_0}^x|f(t,y(t))\mathrm{d}t| \right|\forall x \in I_\delta</math>
 
Ma per ipotesi <math>|f(t,y(t))|\leq M</math>, da cui si deduce che:
 
:<math>|\widehat{y}-y_0|\leq \left|\int_{x_0}^x |f(t,y(t))\mathrm{d}t|\right|\leq M |x-x_0|\le M \delta \le b</math>
Una volta assicurata la buona definizione di <math>F</math> è sufficiente dimostrare che questa è una [[contrazione (spazio metrico)|contrazione]] su <math>B</math> per completare il teorema. Il [[teorema delle contrazioni]] infatti ci assicura l'esistenza di un unico [[punto fisso]] (o punto unito) di <math>F</math> in <math>B</math>, quindi nel nostro caso di una funzione <math>y = y(x)</math> tale che <math>F(y) = y</math>, cioè
:<math>y(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y(t))\mathrm{d}t</math>
definita sull'intervallo <math>I_\delta</math>, e risolvente dunque il [[sistema]] <math>\Theta</math>. Tenendo conto delle [[ipotesi]] su <math>f</math> (in particolare la [[Funzione lipschitziana|lipschitzianità]]) possiamosi può scrivere:
 
:<math>\begin{align}|F(y_1)-F(y_2)| &= \left|\int_{x_0}^x[f(t,y_1(t))-f(t,y_2(t))\mathrm{d}t]\right|\le \left|\int_{x_0}^x|f(t,y_1(t))-f(t,y_2(t))|\mathrm{d}t\right| \\
& \le \left|\int_{x_0}^x L|y_1(t)-y_2(t)|\mathrm{d}t\right| \le L \delta \|y_1-y_2\|_{C^{0}}\end{align}</math>
 
e prendendo il "sup" tra le <math>x \in {I_\delta}</math> si ottiene :
 
:<math>\|F(y_1)-F(y_2)\|_{C^{0}}\le L\delta \|y_1-y_2\|_{C^{0}}</math>
 
e poiché <math>L \delta < 1</math> <math>F</math> è una [[contrazione]].
 
==== Seconda dimostrazione (Picard-Lindelöf) ====
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