Differenze tra le versioni di "Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy"

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==== Seconda dimostrazione (Picard-Lindelöf) ====
Nel corso didella questaseguente [[dimostrazione]] alternativasi giungeremogiunge ad una [[stima]] generalmente più accurata del [[numero reale]] <math>\delta</math>. Inizialmente, si ponga <math>\delta = \min \{a, \tfrac b M\}</math>. Il passo successivo consiste nel definire per ricorrenza una [[successione di funzioni]] <math>y_k: I_\delta \to \R^n</math> come :
 
:<math>
 
È necessaria quindi una verifica della buona definizione della successione, più precisamente bisogna mostrare (ad esempio tramite
[[induzione]]) che <math>y_k(t) \in J \ \forall t \in I_\delta</math>; il passo base è immediato per come è stato definito <math>J</math>, mentre per il passo induttivo si supponga <math>y_k \in J \forall t \in J</math>, da cui banalmente <math>(t,y_k(t)) \in I_\delta \times J</math>. Per le ipotesi preliminarmente fatte su <math>f</math> si può quindi maggiorare il valore assoluto di <math>f(t,y_k(t))</math> con <math>M</math>. È dunque di immediata verifica che:
 
:<math>|y_{k+1}(x) - y_0|= \left|\int_{x_0}^x f(t,y_k(t))\mathrm{d}t\right| \le \left|\int_{x_0}^x |f(t,y_k(t))|\mathrm{d}t \right|
\le M |x - x_0| \le M \delta\le b</math>.
 
Si procede nella dimostrazione stimando ricorsivamente la [[distanza (matematica)|distanza]] tra due termini consecutivi della successione puntualmente in <math>I_\delta</math> con un metodo analogo a quello induttivo appena usato.
 
Inizialmente si ha:
 
:<math>|y_1(x) - y_0| = \left|\int_{x_0}^x f(t,y_k(t))\mathrm{d}t\right| \le M\left|x - x_0\right|</math>
 
mentre per i passi seguenti bisogna usare anche l'ipotesi di lipschitzianità di cui gode <math>f</math>:
 
:<math>|g(x) - y_0| = \left| \int_{x_0}^x f(t,g(t)) \mathrm{d}t \right| \le M |x - x_0| \quad \forall x \in I_{\tilde{\delta}}</math>
 
Con un procedimento completamente analogo al precedente si giunge però alla [[stima]]:
 
:<math>|g(x) - y_k(x)| \le \frac{ML^k}{(k+1)!} |x - x_0|^{k+1} \quad \forall x \in I_\delta</math>
 
== Risolubilità globale e prolungabilità delle soluzioni ==
Il teorema è un valido strumento nello studio delle [[equazioni differenziali]], ma [[a priori]] garantisce unicamente l'esistenza della soluzione localmente, ossia in un [[intorno]] delle [[condizioni iniziali]]. IlNon [[teorema di esistenza e unicità globale]]è assicuraassicurata invece l'esistenza di un'unica funzione risolvente <math>\theta</math> in un [[intervallo (matematica)|intervallo]] arbitrario (eventualmente tutto <math>\R</math>), sotto ipotesi più strette (ad esempio la [[Funzione sublineare|sublinearità]] rispetto a <math>y</math> di <math>f</math>) rispetto a quelle richieste per la versione locale. Se <math>f</math> soddisfa queste ulteriori richieste si può dimostrare inoltre che la soluzione ammette un [[prolungamento massimale]] sul suo intervallo di definizione.
 
Un altro enunciato, il [[teorema di esistenza di Peano]], mostra invece soltanto l'esistenza della soluzione (non l'unicità), ma considera una funzione che è solamente una [[funzione continua]], e non lipschitziana. Ad esempio, il secondo membro dell'equazione <math>y'=y^{1/3}</math> con la condizione iniziale <math>y(0)=0</math> è continuo, ma non secondo Lipschitz. Difatti, l'equazione ha tre soluzioni, di cui la prima è <math>y(t)=0</math> e le altre due sono:
 
:<math> y(t) = \pm\big(\tfrac23t\big)^{3/2}</math>
Se <math>f</math> soddisfa queste ulteriori richieste si può dimostrare inoltre che la soluzione ammette un [[prolungamento massimale]] sul suo intervallo di definizione.
 
Più in generale, il [[teorema di esistenza di Carathéodory]] dimostra l'esistenza per condizioni più deboli per <math>f</math>. Si nota che nonostante tali condizioni siano soltanto sufficienti ci sono risultati, come quello di Okamura, che forniscono condizioni necessarie e sufficienti affinchè il problema ai valori iniziali abbia soluzione unica.<ref>{{citation|author1=Ravi P. Agarwal|author2=V. Lakshmikantham|title=Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations|url=http://books.google.com/books?id=q4OkW4H8BCUC|year=1993|publisher=World Scientific|isbn=978-981-02-1357-2}}, page 159</ref>
== Riconducibilità di sistemi di grado arbitrario al primo ==
Questo teorema è di grande utilità, soprattutto se si considera che si può ricondurre un'[[equazione differenziale ordinaria]] di [[grado (matematica)|grado]] <math>n</math> ad un [[sistema]] equivalente di <math>n</math> equazioni differenziali di primo grado in forma normale tramite sostituzioni. Lo stesso vale per un sistema di equazioni in forma normale di grado arbitrario, come si può vedere nel terzo esempio a fine articolo.
 
== Esempi ==
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