Differenze tra le versioni di "Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy"

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(il teorema di peano è diventato il teorema di Peano)
In [[matematica]], il '''teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy''', detto anche '''teorema di Picard-Lindelöf''', '''teorema di esistenza di Picard''' o '''teorema di Cauchy–Lipschitz''', stabilisce le condizioni di esistenza e unicità della soluzione di un'[[equazione differenziale ordinaria]].
 
Il teorema dice che dato il [[problema ai valori iniziali]]:
 
:<math>y'(t)=f(t,y(t)) \qquad y(t_0)=y_0 \qquad t \in [t_0-\varepsilon, t_0+\varepsilon]</math>
 
se <math>f</math> è una [[funzione lipschitziana]] in <math>y</math> e [[Funzione continua|continua]] in <math>t</math> allora per qualche <math>\epsilon>0</math> esiste un'unica soluzione <math>y(t)</math> al problema ai valori iniziali sull'intervallo <math>[t_0-\epsilon, t_0+\epsilon]</math>.
 
== Il teorema ==
:<math>I \times J = \{ (x, y ) \in \R \times \R^n : |x - x_0| \leq a, \|y - y_0 \| \leq b \}</math>
 
con <math>a</math>, <math>b</math> reali positivi, e si ponga che <math>f</math> è almeno di [[Classe C di una funzione|classe]] <math>C^{0}</math> in tale intorno. Si supponga inoltre <math>f</math> [[Funzione lipschitziana|lipschitziana]] rispetto alla variabile <math>y</math> e uniformemente[[Funzione continua|continua]] rispetto alla variabile <math>x</math>:
 
:<math>\|f(x,y_1) - f(x,y_2)\| \leq L \cdot \|y_1 - y_2\| \quad \forall x \in I \quad \forall y_1, y_2 \in J</math>
 
con <math>L>0</math> costante di [[Rudolph Otto Sigismund Lipschitz|Lipschitz]]. Allora il [[problema di Cauchy]]:
 
Allora il [[problema di Cauchy]]:
 
:<math>\Theta = \left\{ \begin{array}{ll}
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