Differenze tra le versioni di "Matrice trasposta"

fix notazione (vettori e spazi vettoriali di matrici in grassetto, il resto no) e la trasposta ^T non necessita di essere scritta con \mathrm{T}
(fix notazione (vettori e spazi vettoriali di matrici in grassetto, il resto no) e la trasposta ^T non necessita di essere scritta con \mathrm{T})
Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta [[matrice simmetrica]], e deve essere una matrice quadrata. Uno [[scalare]] può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica ''1 × 1'', ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici <math>A</math> e <math>B</math> di [[prodotto tra matrici|dimensioni opportune]] si abbia che:
 
:<math>(\mathbf{AB})^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{ A}^\mathrm{T} \ne \mathbf{A}^\mathrm{T}\mathbf{ B}^\mathrm{T}</math>
 
l'operatore di trasposizione è [[trasformazione lineare|lineare]], ovvero, dati due scalari <math>k</math> ed <math>l</math>, vale:
 
:<math>(k\mathbf{ A}+l\mathbf{ B})^\mathrm{T} = (k\mathbf{ A})^\mathrm{T} +(l\mathbf{ B})^\mathrm{T} = k\mathbf{ A}^\mathrm{T} +l\mathbf{ B}^\mathrm{T}</math>
 
Più in generale, dati N scalari <math>k_i</math> ed N matrici di pari dimensioni <math>A_i</math> di pari dimensioni, vale:
 
:<math> \left( \sum_{i=1}^{N} k_i \mathbf{A}_iA_i \right) ^\mathrm{T} = \sum_{i=1}^{N} k_i \mathbf{A}_iA_i^\mathrm{T} </math>
 
dove <math>\sum</math> indica una [[sommatoria]].
Valgono le seguenti proprietà:
* La trasposta della trasposta è la matrice stessa:
:<math>\left( \mathbf{A}^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{A} \quad </math>
* La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle due matrici trasposte:
:<math>(\mathbf{A}+\mathbf{B}) ^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T} </math>
* L'ordine delle matrici si inverte per la moltiplicazione:
:<math>\left( \mathbf{A B} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} </math>
:Questo risultato è facilmente estendibile al caso più generale, dove si considerano più matrici:
:<math>\left( \mathbf{A B C ...\dots X Y Z} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{Z}^\mathrm{T} \mathbf{Y}^\mathrm{T} \mathbf{X}^\mathrm{T} ...\dots \mathbf{C}^\mathrm{T} \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} </math>
* Se <math>c</math> è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare invariato:
:<math>(c \mathbf{A})^\mathrm{T} = c \mathbf{A}^\mathrm{T} </math>
* Nel caso di [[Matrice quadrata|matrici quadrate]], il determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale:
:<math>\det(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \det(\mathbf{A}) </math>
* Il prodotto scalare tra due vettori colonna <math>\mathbf{a}</math> e <math>\mathbf{b}</math> può essere calcolato come:
:<math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},</math>
:che può essere scritto usando la [[notazione di Einstein]] come <math>a_i b^i</math>.
* Se <math>A</math> ha solamente elementi reali, allora <math>A^T A</math> è una matrice semidefinita positiva.
* La trasposta di una matrice invertibile è ancora invertibile e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice iniziale:
:<math>(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} </math>
* Se <math>A</math> è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.
 
== Trasposta di applicazioni lineari ==
{{vedi anche|Trasformazione lineare|Spazio duale}}
Più in astratto, seSe <math>V</math> e <math>W</math> sono due [[spazi vettoriali]] di dimensione finita sullo stesso campo e <math>f : V \to W</math> è un'applicazione lineare, allorasi possiamopuò definire l'applicazione ''duale'' di <math>f</math> come la mappa <math>f^* : W^* \to V^* </math> tra gli [[spazio duale|spazi duali]] <math>W^*</math> e <math>V^*</math> definita da:
 
:<math>f^* : \varphi \mapsto \varphi \circ f</math>
 
Fissate due basi <math>E = (\mathbf e_1, \ldots,\mathbf e_m)</math> e <math>F=(\mathbf f_1, \ldots, \mathbf f_n)</math> di <math>V</math> e <math>W</math> rispettivamente, si dimostra che se <math>A</math> è la matrice associata a <math>f</math> rispetto tali basi allora la matrice associata a <math>f^*</math> rispetto alle [[Base duale|basi duali]] di <math>e_1, \ldots, e_mE</math> e <math>f_1, \ldots, f_nF</math> è proprio la trasposta di <math>A</math>.
 
== Esempi ==
</math>
*<math>\begin{bmatrix}
1 & 2 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
*<math>\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 8 \\
3 & 4 & 3 \\
5 & 6 & 1 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
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