Differenze tra le versioni di "Matrice trasposta"

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(fix notazione (vettori e spazi vettoriali di matrici in grassetto, il resto no) e la trasposta ^T non necessita di essere scritta con \mathrm{T})
con <math>\mathbf{K}^{m,n} </math> lo [[spazio vettoriale]] delle matrici di dimensione ''n''. In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.
 
L'operazione di trasposizione è definita sia su matrici quadrate che rettangolari, e quindi anche su [[Vettore (matematica)|vettori]]. In particolare, un [[vettore colonna]] trasposto è un vettore [[riga]], e viceversa.
 
Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta [[matrice simmetrica]], e deve essere una matrice quadrata. Uno [[Campo (matematica)|scalare]] può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica ''1 × 1'', ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici <math>A</math> e <math>B</math> di [[prodottoMoltiplicazione tradi matrici|dimensioni opportune]] si abbia che:
 
:<math>(AB)^T = B^T A^T \ne A^T B^T</math>
 
== Trasposta di applicazioni lineari ==
{{vedi anche|TrasformazioneSpazio lineareduale|SpazioBase duale}}
Se <math>V</math> e <math>W</math> sono due [[spazi vettoriali]] di dimensione finita sullo stesso campo e <math>f : V \to W</math> è un'[[Trasformazione lineare|applicazione lineare]], si può definire l'applicazione ''duale'' di <math>f</math> come la mappa <math>f^* : W^* \to V^* </math> tra gli spazi duali <math>W^*</math> e <math>V^*</math> definita da:
 
:<math>f^* : \varphi \mapsto \varphi \circ f \qquad \forall \varphi \in W^*</math>
 
Fissate due basi <math>E = (\mathbf e_1, \ldots,\mathbf e_m)</math> e <math>F=(\mathbf f_1, \ldots, \mathbf f_n)</math> di <math>V</math> e <math>W</math> rispettivamente, si dimostra che se <math>A</math> è la matrice associata a <math>f</math> rispetto tali basi allora la matrice associata a <math>f^*</math> rispetto alle [[Base duale|basi duali]] di <math>E</math> e di <math>F</math> è la trasposta di <math>A</math>.
 
Ogni applicazione lineare <math>f : V \to V^*</math> che mappa nello spazio duale definisce una [[forma bilineare]] <math>B : V \times V \to F</math> mediante la relazione:
 
:<math>B(\mathbf v, \mathbf w)=f(\mathbf v)(\mathbf w)</math>
 
Definendo la trasposta di tale funzione come la forma bilineare <math>^t B</math> data dalla mappa trasposta <math>^t f : V^{**} \to V^*</math>:
 
:<math>^t B(\mathbf v, \mathbf w)=^t f(\mathbf v)(\mathbf w)</math>
 
si trova che <math>B(\mathbf v, \mathbf w)=^t B(\mathbf v, \mathbf w)</math>.
 
== Esempi ==
 
==Voci correlate==
* [[Base duale]]
* [[Forma bilineare]]
* [[Matrice]]
* [[Matrice simmetrica]]
* [[Trasformazione lineare]]
* [[Spazio duale]]
 
==Collegamenti esterni==
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