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Fattore primo (modifica)

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{{S|teoria dei numeri}}
 
NellaIn [[teoria dei numeri]], i '''fattori primi''' di un [[numero intero|intero]] positivo sono i [[numero primo|numeri primi]] che lo dividono esattamente, cioè senza resto.
 
Due interi positivi sono [[coprimoCoprimo|coprimi]] se e solo se non hanno fattori primi in comune. L'intero <math>1</math> è comprimo ad ogni intero positivo, compreso sé stesso. Questo poiché non ha fattori primi; è il [[prodotto vuoto]].
 
La [[fattorizzazione]] prima di un intero positivo è la lista dei suoi fattori primi, insieme con la massima potenza di ogni primo che divide esattamente l'intero. Il [[teorema fondamentale dell'aritmetica]] dice che ogni intero positivo ha una fattorizzazione prima unica.
 
== Funzioni omega ==
La funzione ω<math>\omega(''n'')</math> conta il numero di fattori primi distinti di ''<math>n''</math> mentre Ω<math>\Omega(''n'')</math> conta il numero complessivo di fattori primi di ''<math>n''</math>, cioè conta il numero di divisori primi di <math>n</math> contati con la loro molteplicità<ref>{{OEIS|A001222}}</ref>:
:<math>n = \prod_{i=1}^{\omega(n)} p_i^{\alpha_i};</math>
:<math>\Omega(n) = \sum_{i=1}^{\omega(n)} \alpha_i.</math>
ω(''n'') è un esempio di [[funzione aritmetica|funzioni aritmetica]] [[funzione additiva|additiva]] ma non completamente additiva.▼
 
▲ωLa funzione <math>\omega(''n'')</math> è un esempio di [[funzioneFunzione aritmetica|funzioni aritmetica]] [[funzioneFunzione additiva|additiva]] ma non completamente additiva.
&Omega;(''n'') è il numero di divisori primi di ''n'', contati nella loro molteplicità<ref>{{OEIS|A001222}}</ref>.
Se
<math>n = \prod_{i=1}^m p_i^{\gamma_i}</math>
 
In generale <math>n</math> è dato dal prodotto di <math>\Omega(n)</math> numeri (anchenon parzialmente/totalmentenecessariamente ugualidistinti).▼
allora
 
<math>\Omega (n) = \sum_{i=1}^m \gamma_i</math>.
 
Esempio:
 
<math>24=2^3\cdot3^1</math>
 
segue
 
<math>\Omega(24)=3+1=4</math>
 
▲In generale n è dato dal prodotto di <math>\Omega(n)</math> numeri (anche parzialmente/totalmente uguali).
 
== Esempi ==
* I fattori primi di <math>6</math> sono <math>2</math> e <math>3</math> (poiché <math>6 = 3&nbsp;&times;&nbsp; \cdot 2</math>).
* Il numero <math>5</math> ha solo un fattore primo: sé stesso (<math>5</math> è primo).
* Il numero <math>100</math> ha due fattori primi: <math>2</math> e <math>5.</math> (infatti <math>100 = 2<sup>^2</sup>&nbsp;&times;&nbsp; \cdot 5<sup>^2</supmath>).
* Le [[Potenza di due|potenze di due]] <math>2, 4, 8, 16,</math> ecc. hanno ognuno un solo fattore primo: 2 (2 è primo, 4 = 2<supmath>2</supmath>, 8 = 2<sup>3</sup>, ecc.)
* Il numero <math>1</math> non ha fattori primi (infatti <math>1</math> ècorrisponde ilal [[prodotto vuoto]]).
* Poiché <math>24=2^3 \cdot 3^1</math> segue che <math>\omega(24)=2</math> e <math>\Omega(24)=3+1=4</math>.
* ω(1701)=2 e Ω(3528)=7
* Poiché <math>1701=3^5 \cdot 7^1</math> segue che <math>\omega(1701)=2</math> e <math>\Omega(1701)=6</math>.
* Poiché <math>3528=2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^2</math> segue che <math>\omega(3528)=3</math> e <math>\Omega(3528)=7</math>.
 
==Note==
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