Differenze tra le versioni di "Distribuzione binomiale"

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In [[teoria della probabilità]] la '''distribuzione binomiale''' è una [[distribuzione di probabilità]] [[distribuzione discreta|discreta]] che descrive il numero di successi in un [[processo di Bernoulli]], ovvero la [[variabile aleatoria]] <math>S_n=X_1+X_2+\ldots+X_n</math> che somma ''<math>n''</math> variabili aleatorie [[variabile indipendente|indipendenti]] di uguale [[distribuzione di Bernoulli]] ''<math>\mathcal{B}(p)''</math>.
 
Esempi di casi di distribuzione binomiale sono i risultati di una serie di lanci di una stessa moneta o di una serie di estrazioni da un'urna (con reintroduzione), ognuna delle quali può fornire due soli risultati: il ''successo'' con probabilità ''<math>p''</math> e il ''fallimento'' con probabilità ''<math>q''=1-''p''</math>.
 
== Definizione ==
La distribuzione binomiale <math>\mathcal{B}(n,p)</math> è caratterizzata da due parametri:<ref>{{cita|Ross|p. 146|Ross, 2003}}</ref>
* <math>p</math>: la probabilità di successo della singola [[proveProve di Bernoulli|prova di Bernoulli]] ''X<submath>iX_i</submath>'' (0con <math>0 \le p <\le 1</math>).
* <math>n</math>: il numero di prove effettuate.
Per semplicità di notazione viene solitamente utilizzato anche il parametro <math>q=1-p</math>, che esprime la probabilità di fallimento per una singola prova.
La distribuzione di probabilità è:
:<math>P(k)\ =\ P(X_1+X_2+\ldots+X_n=k)\ =\ {n \choose k} p^k q^{n - k}</math>
cioè ogni successione con ''<math>k''</math> successi e ''<math>n-k''</math> insuccessi ha probabilità <math>p^kq^{n-k}</math>, mentre il numero di queste successioni, pari al numero di modi (o [[combinazioneCombinazione|combinazioni]]) in cui possono essere disposti i ''<math>k''</math> successi negli ''<math>n''</math> tentativi, è dato dal [[coefficiente binomiale]] <math>\textstyle {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}</math>.
 
La formula del [[binomio di Newton]] mostra come la somma di tutte le probabilità nella distribuzione sia uguale ada <math>1</math>:
:<math>\sum_{k=0}^{n} P(S_n=k) = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} p^k q^{n - k} = (p+q)^n = 1</math>
 
 
== Caratteristiche ==
Siccome la distribuzione binomiale ''<math>\mathcal{B}(n,p)''</math> descrive una variabile aleatoria ''S<submath>nS_n</submath>'' definita come la somma di ''<math>n''</math> variabili aleatorie indipendenti ''X<submath>iX_i</submath>'' di uguale [[variabileVariabile casuale di Bernoulli|legge di Bernoulli]] ''<math>\mathcal{B}(p)''</math>, molte caratteristiche di ''S<submath>nS_n</submath>'' possono essere ricavate da quelle di ''<math>X''</math>:
* il [[valore atteso]]
:<math>E[S_n]\ =\ \sum_{i=1}^n E[X_i]\ =\ nE[X]\ =\ np</math>
:<math>\gamma_2\ =\ \frac{1}{n}\left(\frac{1}{pq}-6\right)</math>
 
La [[modaModa (statistica)|moda]] di <math>S_n</math> si ottiene confrontando le probabilità successive <math>P(k+1)/P(k)</math>. Se <math>p(n+1)</math> è un [[numero intero]] allora <math>P(p(n+1))=P(p(n+1)-1)</math> e la moda non è unica; se invece <math>p(n+1)</math> non è un intero allora la moda è pari alla sua [[parte intera]] <math>[p(n+1)]</math>.
 
Non esistono formule precise per la [[medianaMediana (statistica)|mediana]] di <math>S_n</math>, che tuttavia dev'essere compresa tra le parti intere inferiore e superiore di <math>np</math>, <math>\lfloor np\rfloor</math> e <math>\lceil np\rceil</math>. Se <math>np</math> è un intero allora la mediana è <math>np</math>. Se la funzione di ripartizione assume il valore <math>1/2</math> (ad esempio <math>F(k)=1/2</math> per <math>p=1/2</math> ed <math>n=2k+1</math> dispari) allora tutti i valori dell'intervallo possono essere presi come mediana.
 
== Altre distribuzioni di probabilità ==
La distribuzione di Bernoulli ''<math>\mathcal{B}(p)''</math> può essere considerata come un caso particolare di distribuzione binomiale ''<math>\mathcal{B}(1,p)''</math>, che descrive un processo di Bernoulli con una sola prova: ''S<sub>1</submath>S_1=X<sub>1X_1</submath>''.
 
I successi in una sequenza di estrazioni da un'urna, effettuate ''senza'' reintroduzione degli estratti, sono descritti da una variabile aleatoria che segue la [[variabileVariabile casuale ipergeometrica|legge ipergeometrica]].
 
=== Convergenze ===
Per valori di ''<math>n''</math> ''sufficientemente grandi'' la legge binomiale è approssimata da altre leggi.
 
Quando ''<math>n''</math> tende a infinito, lasciando fisso λ<math>\lambda=''np''</math>, la distribuzione binomiale tende alla [[distribuzione di Poisson]] ''<math>P''(λ\lambda)=''P(np)''</math>. In [[statistica]] quest'approssimazione viene solitamente accettata quando ''<math>n'' \ge 20</math> e ''<math>p'' \le 1/20</math>, oppure quando ''<math>n'' \ge 100</math> e ''<math>np'' \le 10</math>.
 
Per il [[teorema del limite centrale]], quando ''<math>n''</math> tende a infinito, lasciando fisso ''<math>p''</math>, la distribuzione binomiale tende alla [[distribuzione normale]] ''<math>N(np,npq)''</math>, di speranza ''<math>np''</math> e varianza ''<math>npq''</math>. In statistica quest'approssimazione viene solitamente accettata quando ''<math>np''>5</math> e ''<math>nq''>5.</brmath>.
 
Per il [[teorema del limite centrale]], quando ''n'' tende a infinito, lasciando fisso ''p'', la distribuzione binomiale tende alla [[distribuzione normale]] ''N(np,npq)'', di speranza ''np'' e varianza ''npq''. In statistica quest'approssimazione viene solitamente accettata quando ''np''>5 e ''nq''>5.</br>
Più precisamente, il teorema del limite centrale afferma che
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{S_n-E[S_n]}{\sqrt{\text{Var}(S_n)}}\ =\ \lim_{n\to\infty}\frac{S_n-np}{\sqrt{npq}}\ =\ \mathcal{N}(0,1)</math>
 
=== Generalizzazioni ===
Una generalizzazione della distribuzione binomiale <math>\mathcal{B}(p,n)</math> è la legge [[distribuzione Beta-binomiale]] <math>\Beta(a,b,n)</math>, che descrive la somma <math>S_n=X_1+X_2+...+X_n</math> di ''<math>n''</math> variabili aleatorie indipendenti, ognuna con distribuzione di Bernoulli <math>\mathcal{B}(P)</math>, dove ''<math>P''</math> segue la legge Beta <math>\Beta(a,b)</math>. (Al contrario della distribuzione binomiale, le ''X<submath>iX_i</submath>'' non hanno lo stesso parametro.)
 
La distribuzione binomiale è una delle quattro distribuzioni di probabilità definite dalla [[distribuzioneDistribuzione di Panjer|ricorsione di Panjer]]: <math>P(k)=(-\tfrac{p}{q}+\tfrac{1}{k}\tfrac{(n+1)p}{q})P(k-1)</math>.
 
== Statistica ==