Wikipedia

Estremo superiore e estremo inferiore: differenze tra le versioni

Naviga nella cronologia in modo interattivo
← Differenza precedenteDifferenza successiva →
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
VisualeWikitesto
mNessun oggetto della modifica
Riga 1:
In [[matematica]], l''''estremo superiore''' di un insieme <math>E</math> contenuto in un [[Relazione d'ordine|insieme ordinato]] <math>X</math> è il più piccolo elemento dei [[maggioranteMaggiorante e minorante|maggioranti]] di <math>E</math>.
 
In modo [[dualità|duale]], l''''estremo inferiore''' di <math>E</math> è definito come il più grande elemento dei [[minorante|minoranti]] di <math>E</math>.
 
Estremo superiore e inferiore possono appartenere ad <math>E</math> oppure no. Nel primo caso essi coincidono con il suo massimo e minimo. In generale il concetto di massimo e di estremo superiore non coincidono e non vanno confusi.
 
Il concetto di estremo superiore e inferiore sono applicabili ad ogni struttura matematica per la quale è chiaro cosa si intende per un elemento essere "maggiore o uguale" di un altro elemento. Quindi il concetto di estremo superiore si applica agli [[insieme ordinato|insiemi ordinati]], per esempio sottoinsiemi di numeri reali, razionali, naturali, ma non per esempio di numeri complessi.
Riga 13:
* <math>y</math> è un [[maggiorante]] di <math>E</math>
* <math>\nexists z \in X</math> tale che <math>z</math> è un maggiorante di <math>E</math> e <math> z<y </math> (vale a dire il maggiorante più piccolo è y stesso)
diciamosi dice che <math>y</math> è '''estremo superiore''' di <math>E</math>, in simboli <math>y=\sup E</math>.
 
Se invece esiste un elemento <math>x\in X</math> tale che:
* <math>x</math> è un [[minorante]] di <math>E</math>
* <math>\nexists a \in X</math> tale che <math>a</math> è un minorante di <math>E</math> e <math> a>x </math> (vale a dire il minorante più grande è x stesso)
diciamosi dice che <math>x</math> è '''estremo inferiore''' di <math>E</math>, in simboli <math>x=\inf E</math>.
 
Se l' insieme dei maggioranti di un insieme è non vuoto l' insieme si dice limitato superiormente, mentre se l' insieme dei minoranti è non vuoto l' insieme si dice limitato inferiormente. Ovviamente, se esiste l' estremo inferiore, l' insieme è limitato inferiormente, mentre se esiste l' estremo superiore l' insieme è limitato superiormente.
Un insieme limitato superiormente e inferiormente si dice limitato.▼
 
▲Un insieme limitato superiormente e inferiormente si dice limitato.
== Sottoinsiemi della [[numero reale|retta reale]] ==▼
Se si considera un insieme <math>E\subseteq \R^*</math> della [[Numero reale#Insieme reale esteso|retta reale estesa]] questo ha sicuramente estremo superiore e estremo inferiore.
 
▲== Sottoinsiemi della [[numero reale|retta reale]] ==
QuestoSe si considera un insieme <math>E\subseteq \R^*</math> della [[Numero reale#Insieme reale esteso|retta reale estesa]], questo ha sicuramente estremo superiore e estremo inferiore. Ciò è garantito dall' [[assioma di Dedekind]], che garantisce che ogni sottoinsieme non vuoto di <math>\mathbb{R}</math> è [[completezza|completo]] e dalla convenzione che, se <math>E</math> non è limitato superiormente (inferiormente) in <math>\mathbb{R}</math>, si dice che il suo estremo superiore (inferiore) è infinito: <math>\sup E=+\infty</math> e/o <math>\inf E=-\infty</math>.
 
=== Esempi ===
Line 47 ⟶ 46:
== Completezza ed esistenza ==
Se un insieme non è completo può essere che un sottoinsieme limitato superiormente non ammetta estremo superiore. Per esempio, sia <math>E\subseteq\mathbb{Q}</math> definito come:
 
:<math>\{x\in\mathbb{Q}:x^2\leq 2\}</math>.
 
Questo insieme è sicuramente limitato superiormente poiché se <math>x\in\mathbb{Q}</math> e <math>x\geq 2</math>, <math>x</math> è maggiorante di <math>E</math>. L'insieme però non ha estremo superiore (<math>\sqrt{2}</math> non appartiene a <math>\mathbb{Q}</math>). Si noti che questo esempio è diverso dall'ultimo esempio della sezione precedente, perché prima si ricercava l'estremo superiore in un insieme completo, <math>\mathbb{R}</math>, ora no. Si è dimostrato che per quanto riguarda spazi non completi esistono sottoinsiemi limitati superiormente ma che non ammettono estremo superiore.
 
== Notazioni ==
Spesso si incontrano notazioni del tipo:
 
:<math>y=\inf_{x\in A} f(x)</math>
 
dove ''<math>f''</math> è una [[funzione (matematica)|funzione]] a valori reali su un dominio qualsiasi e ''<math>A''</math> è un sottoinsieme del suo dominio. Questa notazione è un modo compatto per esprimere:
 
Questa notazione è un modo compatto per esprimere:
:<math>y=\inf\{z=f(x), x\in A\}</math>
 
indica cioè l'estremo inferiore dell'[[immagine (matematica)|immagine]] di ''<math>A''</math> mediante ''<math>f''</math>.
 
=== Esempi ===
Un primo esempio è
* <math>\sup_{x\in\mathbb{R}} x^2 = +\infty</math>▼
 
infatti in questo insieme la funzione non è limitata superiormente▼
* :<math>\inf_sup_{x\in[0,1]\mathbb{R}} x^2 = 0+\infty</math>
 
e anche▼
▲infattiInfatti in questo insieme la funzione non è limitata superiormente.
* <math>\inf_{x\in(0,1)} x^2 = 0</math>▼
 
in questo caso però 0 non è il minimo dell'insieme, in quanto tale valore non esiste, come non esiste il minimo della funzione (è sul bordo del dominio)▼
Considerando invece:
* <math>\sup_{x\in\mathbb{R}} -\exp(-x)=0</math>▼
 
* <math>\sup_{x\in(-1,1)}{-x^2+1}=1</math>
▲* :<math>\sup_inf_{x\in\mathbb{R}[0,1]} x^2 = +\infty0</math>
 
▲e anche:
 
▲* :<math>\inf_{x\in(0,1)} x^2 = 0</math>
 
▲in questo caso però 0 non è il minimo dell'insieme, in quanto tale valore non esiste, come non esiste il minimo della funzione (è sul bordo del dominio).
 
Altri esempi sono:
 
▲* :<math>\sup_{x\in\mathbb{R}} -\exp(-x)=0 \qquad \sup_{x\in(-1,1)}{-x^2+1}=1</math>
 
== Funzioni monotone ==
Come preannunciato in uno degli esempi precedenti esiste una connessione tra il concetto di estremo superiore e quello di limite. Infatti vale il seguente risultato:
 
Sia <math>f:(a,b)\to\mathbb{R}</math> una [[funzione monotona]] in <math>(a,b)</math>. Allora esistono:
 
:<math>\lim_{x\to b_-} f(x)</math> e <math>\lim_{x\to a_+} f(x)</math>
 
e si ha (nel caso sia f non decrescente):
 
:<math>\lim_{x\to b_-} f(x)=\sup_{x\in(a,b)} f(x)</math> e <math>\lim_{x\to a_+} f(x)=\inf_{x\in(a,b)} f(x)</math>
 
con risultati speculari se f è invece non crescente.
 
==Bibliografia==
* {{cita libro | cognome= Rudin| nome= Walter | titolo= Principi di analisi matematica | editore= McGraw-Hill | città= Milano | anno= 1991|id=ISBN 8838606471|cid =rudin}}
 
== Voci correlate ==
* [[MaggioranteFunzione e minorantemonotona]]
* [[Limite superiore e limite inferiore]]
* [[Maggiorante e minorante]]
* [[Relazione d'ordine]]
 
== Collegamenti esterni==
* {{springerEOM|titolo=Upper and lower bounds|autore= L.D. Kudryavtsev }}
* {{MathWorld|Supremum|Supremum}}
* {{planetmath|supremum|supremum}}
 
{{Portale|matematica}}
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Estremo_superiore_e_estremo_inferiore"