Unità immaginaria: differenze tra le versioni

In [[matematica]] l''''unità immaginaria ''<math>i''</math>''' (a volte rappresentata dalla lettera ''<math>j''</math> o dalla [[alfabeto greco|lettera greca]] [[iota]]) permette di estendere il sistema dei [[numero reale|numeri reali]] '''<math>\mathbb{R'''}</math> al sistema dei [[numero complesso|numeri complessi]] '''<math>\mathbb{C'''}</math>. La sua esatta definizione dipende dal particolare metodo utilizzato per l'estensione.

La motivazione primaria per questa estensione consiste nel fatto che non tutte le [[equazione polinomiale|equazioni polinomiali]] ''<math>f''(''x'') = 0</math> hanno una [[soluzione (matematica)|soluzione]] nell'insieme dei numeri reali. In particolare l'equazione ''x''<supmath>x^2</sup> + 1 = 0</math> non ha soluzioni reali. Ma, se si considerano i numeri complessi, allora quella equazione, e in effetti ''tutte'' le equazioni polinomiali ''<math>f''(''x'') = 0</math> hanno almeno una soluzione: questo fatto prende il nome di [[teorema fondamentale dell'algebra]], e dice formalmente che '''<math>\mathbb{C'''}</math> è la [[chiusura algebrica]] di '''<math>\mathbb{R'''}</math>.

Per definizione, l''''unità immaginaria ''<math>i''</math>''' è una soluzione dell'equazione:

Le operazioni sui numeri reali possono essere estese ai [[numero complesso|numeri complessi]] considerando ''<math>i''</math> come una quantità incognita durante la manipolazione delle espressioni, e poi usando la definizione per sostituire ''i''<supmath>i^2</supmath> con −1<math>-1</math>.

==''<math>i''</math> e −''<math>-i''</math>==

L'equazione ''x''<supmath>x^2</sup> + 1 = 0</math> ha, in effetti, ''due'' soluzioni distinte che sono opposte. Più precisamente, una volta che è stata fissata una soluzione ''<math>i''</math> dell'equazione, allora −''<math>-i'' (≠\neq ''i'')</math> è anch'essa una soluzione. Dato che l'equazione stessa è l'unica definizione per ''<math>i''</math>, sembra che questa definizione sia ambigua (più precisamente, non sia [[buonaBuona definizione|ben definita]]). Però non si ha alcuna ambiguità una volta che si sceglie una soluzione e la si fissa, indicandola con ''<math>i''</math> "positivo".

Questa considerazione è sottile. Una spiegazione più precisa consiste nell'affermare che, sebbene il [[campoCampo (matematica)|campo]] [[numeroNumero complesso|complesso]] definito come '''<math>\mathbb{R'''}[''X'']/(''X''<sup>^2+1)</supmath> + 1) è [[unicitàUnicità|unico]] [[a meno di]] [[isomorfismo|isomorfismi]], esso ''non'' è unico a meno di un ''unico'' isomorfismo — esistono esattamente 2due [[automorfismoAutomorfismo|automorfismi]] di '''<math>\mathbb{R'''}[''X'']/(''X''<sup>^2+1)</supmath> + 1), l'identità e l'automorfismo che manda ''<math>X''</math> in −''<math>-X''</math>. Si noti che questi non sono solo gli unici automorfismi del campo '''<math>\mathbb{C'''}</math>, ma sono gli unici automorfismi del campo '''<math>\mathbb{C'''}</math> che tengono fisso qualunque numero reale. Si vedano le voci [[complesso coniugato]] e [[gruppo di Galois]].

Un problema simile si ha se i numeri complessi vengono interpretati come [[matriceMatrice|matrici]] reali <math>2 ×\times 2</math>, perché entrambe le seguenti matrici

0 & -1 \\

1 & \;\; 0

0 & 1 \\

-1 & \;\; 0

sono soluzioni dell'equazione ''x''<supmath>x^2=-1</supmath> = −1. In questo caso l'ambiguità è dovuta alla scelta che si fa riguardo a quale sia la "direzione positiva" con cui viene percorso la [[circonferenzaCirconferenza goniometrica|circonferenza unitaria]]. Una spiegazione più precisa è la seguente: il [[gruppo degli automorfismi]] del [[gruppo ortogonale]] speciale <math>\mathrm{SO}(2, '''\mathbb{R'''})</math> ha esattamente 2due elementi —: l'identità e l'automorfismo che scambia le rotazioni in senso orario in rotazioni in senso antiorario.

Talvolta l'unità immaginaria viene scritta come <math>\sqrt{-1}</math>, ma bisogna fare molta attenzione quando si manipolano formule che contengono radicali. Questa notazione è riservata alla funzione [[radice quadrata]] principale, che è definita '''solo''' per numeri reali ''<math>x'' ≥\ge 0</math>, o alla parte principale della funzione radice quadrata complessa. L'applicazione delle proprietà delle radici quadrate principali (reali) al ramo principale delle radici quadrate complesse produce risultati scorretti:

:<math>{-1} = i \cdot i = \sqrt{{-1}} \cdot \sqrt{{-1}} = \sqrt{({-1}) \cdot ({-1})} = \sqrt{1} = 1.</math>

:<math>\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b},</math>

Per evitare di fare errori nel manipolare i numeri complessi la strategia migliore è quella di non usare mai un numero negativo sotto un segno di radice quadrata che non è preceduto da ±<math>\pm</math>, in modo da far intendere che vengono considerate entrambe le radici.

==Potenze di ''<math>i''</math>==

Le potenze di ''<math>i''</math> si ripetono periodicamente (sono cicliche con periodo <math>4</math>):

Questa proprietà può essere espressa in forma più compatta in questo modo, dove ''<math>n''</math> è un qualunque intero:

Le due radici quadrate di ''<math>i''</math> sono complesse, ricavabili dall'espressione: <math> \sqrt{i} = \pm\frac{1 + i}{\sqrt{2}} </math>. Ciò può essere verificato nel modo seguente:

Per <math>-''i''</math> la radice quadrata sarà quella di ''<math>i''</math> moltiplicata per l'unità immaginaria stessa. quindiQuindi:

:<math> \sqrt{-i} =\pm\ i \frac{1 + i}{\sqrt{2}}\ =\pm\frac{i - 1}{\sqrt{2}} .</math>

:<math>\theta=\frac{\pi}{2n} +\frac{2\pi k}{n}.</math>

La disposizione delle radici nel piano complesso è quella di poligoni regolari inscritti nella circonferenza complessa di raggio <math>1</math>: tenendo conto della non unicità della rappresentazione polare dei numeri complessi, per la radice quadrata avremo 2due radici distinte (ponendo ad esempio ''<math>k''=0,1</math>), per la radice cubica ne avremo 3tre (''<math>k''=0,1,2</math>) e così via. Ritornando alla rappresentazione nel piano complesso tramite la [[formula di Eulero]] otteniamo:

==''<math>i''</math> e la formula di Eulero==

Prendendo la [[formula di Eulero]] <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>, e sostituendo <math>\frac{\pi/}{2}</math> al posto di <math>x</math>, si ottiene

:<math>e^{i\frac{\pi/}{2}} = i \;.</math>

Se entrambi i membri dell'uguaglianza vengono elevati alla potenza ''<math>i''</math>, ricordando che <math>i^2 = -1</math>, si ottiene l'identità

:<math>i^i = e^{-\frac{\pi/}{2}} = 0.,2078795763\dots</math>

:<math>i^i = e^{-\frac{\pi/}{2} - 2\pi N} \;,</math>

dove ''<math>N''</math> è un qualunque intero. Dal punto di vista della teoria dei numeri, ''<math>i''</math> è un [[numero irrazionale]] quadratico, come <math>\sqrt2sqrt{2}</math>, e applicando il [[teorema di Gelfond-Schneider]] si può concludere che tutti i valori ottenuti sopra, e in particolare <math>e^{-\frac{\pi/}{2}}</math>, sono [[numero trascendente|trascendenti]].

Sempre dalla formula di Eulero, o elevando al quadrato ambo i membri della precedente identità <math>e^{i\frac{\pi/}{2}} = i \;</math>, si arriva elegantemente all'[[identità di Eulero]]:

:<math>e^{i\pi} + 1 = 0 \;,</math>,

In [[ingegneria elettrica]] e campi ad essa relativi l'unità immaginaria è spesso indicata con ''<math>j''</math> per evitare confusione con il simbolo di [[corrente elettrica]] variabile, tradizionalmente indicato con ''<math>i''</math>. Anche il linguaggio di programmazione [[Python]] usa ''<math>j''</math> per l'unità immaginaria.

Occorre prestare ulteriore attenzione ad alcuni libri di testo che definiscono "<math>j"="−i"-i</math>, particolarmente in argomenti legati alla propagazione delle onde (per esempio, un'onda piana che viaggia verso destra nella direzione delle ''<math>x''</math> è indicata con <math>e^{ i (kx - \omega t)} = e^{ j (\omega t-kx)}</math>).