Massimo e minimo di una funzione: differenze tra le versioni
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== Funzioni di due o più variabili reali ==
Nel caso di funzioni in più variabili, il discorso fatto è analogo, ma ad annullarsi è il differenziale (e quindi il [[gradiente]]) della funzione.
Nel caso di funzioni di '''2 variabili''', per verificare se il punto è di massimo o minimo, si guarda il segno del [[determinante]] della [[matrice hessiana]] e il primo termine della matrice:
* primo elemento positivo, determinante positivo ([[matrice definita positiva]]): si ha un '''minimo locale'''
* primo termine negativo, determinante positivo: si ha un '''massimo locale'''.
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Nel caso di funzioni di '''3 o più variabili,''' invece, si deve studiare il segno degli autovalori della matrice hessiana (nei punti critici, cioè dove si annulla il gradiente) e:
* se gli autovalori sono strettamente maggiori di zero, il punto che annulla il gradiente è di '''minimo locale'''.
* se gli autovalori sono strettamente minori di zero, tale punto è di '''massimo locale'''.
* se gli autovalori cambiano segno, il '''punto è di sella'''.
* se gli autovalori sono tutti nulli, non danno informazioni sulla natura del punto.
In caso di funzioni di due o più variabili, la ricerca dei punti di massimo e minimo non si esaurisce all'interno del dominio dove la funzione è derivabile, ma si devono cercare i massimi e i minimi anche sulla [[Frontiera (topologia)|frontiera]], in cui in generale la funzione non è differenziabile. In tal caso, nelle funzioni di due variabili si parametrizza la frontiera e si cercano i punti di massimo e di minimo come visto per una variabile reale.
== Esempi ==
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