Differenze tra le versioni di "Risposta in frequenza"

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==Descrizione==
{{Vedi anche|Funzione di trasferimento}}
Definire la risposta in [[frequenza]] di un sistema consiste nello stabilire quale è la relazione fra ingresso e uscita del sistema quando la sollecitazione applicata e la risposta sono variabili nel tempo. Dal momento che un qualsiasi segnale periodico può essere scomposto in una serie di sinusoidi di frequenze diverse (come da [[serie di Fourier]]), se si conosce l'insieme delle risposte a tale segnale alle varie frequenze in ampiezza e [[fase (segnali)|fase]] è possibile ricostruire il segnale d'uscita senza dover effettuare calcoli specifici per ognuno degli infiniti tipi di forme d'onda di ingresso. La risposta in frequenza può essere vista dunque come la scomposizione in frequenza della risposta di un sistema a cui è applicato un [[segnale (fisica)|segnale]] composto da infinite frequenze armoniche a diversa frequenza e ampiezza costante e unitaria.
 
In [[elettronica]] e telecomunicazioni la risposta in frequenza è un fattore di grande importanza, che caratterizza numerose applicazioni. Tra le applicazioni più comuni vi sono i [[Filtro (elettronica)|filtri]] elettrici, elettronici o ottici, circuiti in grado di elaborare il segnale privandolo di alcune sue componenti in frequenza, spesso per ripulirlo da disturbi. Sono detti filtri [[filtro passa basso|passa basso]], [[filtro passa banda|passa banda]] o [[filtro passa alto|passa alto]] grazie alla loro peculiarità di lasciar passare frequenza basse, intermedie o elevate. Nel caso di [[Filtro attivo|filtri attivi]], la risposta in frequenza si usa per progettare filtri con particolari caratteristiche. Infine, lo studio in frequenza è indispensabile nell'analisi e sintesi degli [[Amplificatore (elettronica)|amplificatori]] lineari e negli amplificatore a [[retroazione]].
 
== Funzione di trasferimento di sistemiSistemi lineari e stazionari ==
{{Vedi anche|FunzioneSistema didinamico retelineare stazionario}}
Dalla teoria sviluppata nei [[sistemi lineari e stazionari]] abbiamoè vistonoto che in generale:
 
:<math>u_{out}(t) = \mathbf Z u_{in} (t) \ </math>
 
dove <math>u_{in}</math> e <math>u_{out}</math> sono, rispettivamente, la sollecitazione (che nel caso che ci interessa è un segnale di qualsivoglia forma) e la risposta del sistema a tale sollecitazione, mentre l'operatore <math>\mathbf Z</math> rappresenta l'insieme delle operazioni che il sistema compie sul segnale di ingresso. Se invece che un operatore qualsiasi il sistema lascia inalterato il segnale di ingresso a meno di un fattore costante abbiamosi ha:
 
:<math>u_{out}(t) = \alpha u_{in}(t) \ </math>
dove il fattore costante <math>\alpha</math> è detto autovalore dell'operatore <math>\mathbf Z</math> e quindi <math>u_{in}(t)</math> è la relativa autofunzione.
 
Ebbene neiNei sistemi lineari e stazionari le [[Rappresentazione spettrale dei segnali|funzioni armoniche]] sono le autofunzioni e l'autovalore è la funzione:
 
:<math>k(i \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega t} \cdot h(t) \, dt</math>
:<math>h(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} k(i \omega) e^{i\omega t} \, d\omega</math>
 
Quindi un sistema lineare e stazionario può essere studiato nel [[dominio del tempo]] attraverso la [[rappresentazione dinamica dei segnali]], cioè tramite la risposta all'impulso o al gradino unitario come visto nei [[sistemi lineari e stazionari]], oppure può essere studiato nel [[dominio della frequenza]] sulla base della risposta in [[frequenza]].
 
== Funzione di trasferimento per sistemiSistemi dinamici lineari ==
{{Vedi anche|funzioneSistema didinamico trasferimento|Sistemi lineari dinamicilineare}}
Dalla teoria sui [[sistemi lineari dinamici]], <math>u_{in}(t)</math> è un segnale generico in ingresso ad un sistema la sua risposta può essere scritta nel caso più generale:
 
:<math>a_n \frac{d^n}{dt^n} u_{out}(t) + a_{n-1} \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}} u_{out}(t) + \dots + a_0 u_{out}(t) = b_m \frac{d^m}{dt^m} u_{in}(t) + b_{m-1} \frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}} u_{in}(t) + \dots + b_0 u_{in} (t)</math>
cioè la risposta in frequenza per qualsiasi sistema dinamico lineare è una funzione razionale di <math>i \omega</math> con coefficienti uguali al sistema. La risposta in frequenza di un sistema dinamico lineare può essere eseguita attraverso le risposte del sistema agli impulsi elementari quali la [[delta di Dirac]] o la [[funzione gradino di Heaviside]] nel dominio del tempo, oppure attraverso le [[Funzione di rete|funzioni di rete]] cioè la [[funzione di trasferimento]] o la [[Funzione di rete|funzione impedenza]] e [[Funzione di rete|funzione ammettenza]] nel dominio della frequenza attraverso il [[metodo simbolico]] che fa uso della [[trasformata di Fourier]] o con il [[metodo operatoriale]] che fa uso della [[trasformata di Laplace]].
 
La Risposta in Frequenza <math>W(j*w)</math> altro non è quindi che la funzione di trasferimento del sistema espressa nel dominio di Fourier della variabile [[frequenza angolare]], ovvero è quella funzione che applicata in modulo e fase ad ingressi di tipo armonico restituisce l'uscita del sistema tramite il teorema della risposta armonica. Tale funzione si ottiene direttamente dalla funzione di trasferimento nella variabile di Laplace sostituendo alla variabile complessa <math>s=a+jb</math> la variabile ''jw''<math>j w</math>, ovvero prendendo la sola parte immaginaria:
 
:<math>\ W(jw)=F(s) |s=jw </math>
:<math>e(t)=A_0+\sum_{n=1}^\infty(A_n\cos{\omega_0 n t}+B_n \sin{\omega_0 n t})</math>
 
Le seguenti espressioni forniscono i valori di A<submath>0A_0</submath>, A<submath>nA_n</submath> e B<submath>nB_n</submath>:
 
:<math>A_0=\frac{1}{T}\int_{0}^T{e(t)dt}</math>
==Analisi nel campo complesso==
{{Vedi anche|Trasformata di Laplace}}
L'analisi nel campo complesso è realizzata mediante l'utilizzo della trasformata di Laplace, che rende possibile il superamento delle difficoltà operazionali connaturali all'analisi nel dominio dei numeri reali.<br>
 
La trasformata di Laplace è una operazione che si esegue sulle funzioni di variabile reale per trasformarle in funzioni di variabile complessa. Tale trasformazione conduce a notevoli semplificazioni nei calcoli, in quanto, a operazioni di natura infinitesimale corrispondono nelle funzioni trasformate a operazioni di tipo algebrico. Eseguite le operazioni su queste ultime, si procede al recupero della funzione nel campo reale attraverso opportuna antitrasformazione. Entrambe le operazioni vengono normalmente eseguite con l'aiuto di apposite tabelle, data la corrispondenza biunivoca fra una funzione e la sua trasformata di Laplace. La trasformata di Laplace L[f(t)] di una f(t) risulta definibile come segue :
 
:<math>L[f(t)]=F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt</math>
:<math>L\frac{di}{dt}+Ri=E</math>
 
di cui la trasformata risultaè:
 
:<math>L[si(s)-i(0+)]+Ri(s)=\frac{E}{s}</math>
 
Risolvendo per <math>i(s)</math>, posto <math>i(0+)=0</math>, risulta:
 
:<math>i(s)=\frac{E}{s(sL+R)}</math>
 
la cui antitrasformata è:
 
:<math>i=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{Rt}{L}})</math>
 
== Teorema della Risposta armonica ==
Il teorema della Risposta armonica afferma che un sistema lineare e stazionario, sollecitato da un ingresso sinuisoidale di pulsazione ''ω''<math>\omega</math>:
 
:<math>\ x(t)= A \sin(\omega t) = A \sin(2\pi f t)</math>
 
se asintoticamente stabile presenta a regime una risposta sinusoidale avente la stessa frequenza dell'eccitazione con ampiezza pari al modulo della risposta in frequenza e differenza di fase pari alla fase della risposta in frequenza:
 
:<math>\ y(t)= |G(j \omega )| A \sin(2\pi f t + \angle G(j \omega )) </math>
 
dove <math>\ \angle G(j \omega ) </math> è la fase.
:<math>\ X(s)= \frac{A \omega}{(s^2+ \omega ^2)}</math>
 
mentre l'uscita, a partire da uno stato nullo, ammette una trasformata del tipo:
 
:<math>\ Y(s)=G(s)X(s)=G(s)\frac{A\omega}{s^2+\omega^2}=G(s)\frac{A\omega}{(s-j\omega)(s+j\omega)} </math>
 
I poli sono gli stessi della funzione di trasferimento più quelli corrispondenti al segnale in ingresso. Si nota antitrasformando che i primi corrispondono ad un termine transitorio <math> y_0(t) </math> mentre i secondi ad un termine permanente <math> y_p(t) </math> che, come si verificherà, è sinusoidale. Pertanto, la risposta si può scrivere come:
Pertanto, la risposta si può scrivere come:
 
<math>\ y(t)=y_0(t)+y_p(t)=y_0(t)+K_1e^{j\omega t}+K_2e^{-j\omega t}</math>
 
In cui <math> K_1</math> e <math> K_2 </math> sono i residui dei poli <math> p_1, p_2 </math> relativi al segnale di ingresso:
<br />
<math>\ K_1= \left[ \frac{G(s)A \omega}{s+j \omega}\right]_{s=j \omega}=\frac{A}{2j}G(j \omega) </math>
 
:<math>K_2\ K_1= \left[ \frac{G(s)A \omega}{s-+j \omega}\right]_{s=-j \omega}=-\frac{A}{2j}G(-j \omega) </math>
 
<br />
:<math>\ K_1K_2= \left[ \frac{G(s)A \omega}{s+-j \omega}\right]_{s=-j \omega}=-\frac{A}{2j}G(-j \omega) </math>
La trasformata di Laplace soddisfa la relazione <math>\ F(s^*)=F^*(s) </math> pertanto si può scrivere
 
:<math>G(j\omega)=|G(j\omega)|e^{j\varphi (\omega)}</math>
La trasformata di Laplace soddisfa la relazione <math>\ F(s^*)=F^*(s) </math> pertanto si può scrivere:
:<math>G(-j\omega)=|G(j\omega)|e^{-j\varphi (\omega)}</math>
 
<br />
in cui si è posto :<math> G(j\omega)=|G(j\omega)|e^{j\varphi (\omega)=} \angleqquad G(-j\omega)=|G(j\omega))|e^{-j\varphi (\omega)}</math>.
 
in cui si è posto <math> \varphi(\omega)=\angle(G(j\omega)) </math>. Una volta esaurito il transitorio si ottiene:
 
Una volta esaurito il transitorio si ottiene
<math> y(t)\cong y_p(t)=|G(j\omega)|A\frac{e^{j(\omega t+\varphi(\omega))}-e^{-j(\omega t+\varphi(\omega))}}{2j}=|G(j\omega)|A\sin (\omega t+\varphi(\omega)) </math>
 
Pertanto il teorema è dimostrato.
 
==Bibliografia==
* {{en}} Luther, Arch C.; Inglis, Andrew F. [http://books.google.com/books?id=VRailj6TKqUC ''Video engineering''], McGraw-Hill, 1999. ISBN 0-07-135017-9
* {{en}} Stark, Scott Hunter. [http://books.google.com/books?id=7QOcDeGFx4UC ''Live Sound Reinforcement''], Vallejo, California, Artistpro.com, 1996–2002. ISBN 0-918371-07-4
* {{en}} Billings S.A. "Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains". Wiley, 2013
 
== Voci correlate ==
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