Spazio euclideo: differenze tra le versioni

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==Spazio <math>\mathbb{R}^n</math></sup>==
===Definizione===
Sia <math>\scriptstyle{\mathbb{R}}</math>Dato il [[campo (matematica)|campo]] <math>\R</math> dei [[numero reale|numeri reali]] e, sia ''n'' un [[numero naturale]]. Una '''n-upla''' di numeri reali è una sequenza (ossia un insieme ordinato) <math>\scriptstyle{(x_1,\ldots,x_n)}</math> di ''n'' numeri reali. Lo spazio di tutte le ''n''-uple di numeri reali forma uno [[spazio vettoriale]] di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] ''n'' su <math>\R</math>, indicato con <math>\R^n</math>. Le operazioni di somma e prodotto per scalare sono definite da:
 
di ''n'' numeri reali. Lo spazio di tutte le ''n''-uple di numeri reali forma uno [[spazio vettoriale]] di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] ''n'' su <math>\scriptstyle{\mathbb{R}}</math>, indicato con <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math>. Le operazioni di somma e prodotto per scalare sono definite da
:<math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n)</math>
:<math>a\,\mathbf{x} = (a x_1, a x_2, \ldots, a x_n)</math>
 
===Basi di spazi vettoriali===
{{vedi anche|baseBase (algebra lineare)}}
Una base dello spazio <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math> che presenta vari vantaggi è la sua cosiddetta [[base canonica]] :
 
:<math>\mathbf{e}_1 = (1, 0, \ldots, 0)</math>
:<math>\mathbf{e}_2 = (0, 1, \ldots, 0)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>\mathbf{e}_n = (0, 0, \ldots, 1)</math>.
 
Un vettore arbitrario in <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math> può dunque essere scritto nella forma:
 
:<math>\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i</math>
 
Lo spazio <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math> è il prototipo di uno spazio vettoriale reale a dimensione ''n'': infatti ogni spazio vettoriale ''<math>V''</math> di dimensione ''n'' è [[isomorfismo|isomorfo]] a <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math>. NotiamoSi nota che non si impone un isomorfismo ''canonico'': la scelta di un isomorfismo tra <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math> e ''<math>V''</math> è equivalente alla scelta di una [[base (algebra lineare)|base]] per ''<math>V''</math>. In molte fasi dello sviluppo dell'[[algebra lineare]] gli spazi vettoriali a dimensione ''n'' vengono comunque studiati in astratto, perché molte considerazioni sono più semplici ed essenziali se svolte senza fare riferimento a una base particolare.
 
==Struttura euclidea==
Lo spazio euclideo è più che un semplice spazio vettoriale. Per ottenere la [[geometria euclidea]] si deve poter parlare di [[distanza (matematica)|distanze]] e [[angolo|angoli]], iniziando con la distanza fra due punti e l'angolo formato da due rette o da due vettori. Il modo intuitivo per fare questo è l'introduzione di quello che viene chiamato ''[[prodotto scalare]] standard'' su <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math>. Questo prodotto, se i vettori '''<math>\mathbf x'''</math> e '''<math>\mathbf y'''</math> sono riferiti alla base canonica definita sopra, è definito da
:<math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.</math>
 
Lo spazio delle ''n''-uple di numeri reali arricchito con il prodotto scalare, funzione che a due ''n''-uple di reali '''<math>\mathbf x'''</math> e '''<math>\mathbf y'''</math> associa un numero reale, costituisce una struttura più ricca di <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math> chiamata '''"spazio euclideo'''" ''n''-dimensionale. Per distinguerlo dallo spazio vettoriale delle ''n''-uple reali in genere viene denotato con '''E'''<supmath>''E^n''</supmath> .
 
Il prodotto scalare permette di definire una "lunghezza" non negativa per ogni vettore ''<math>\mathbf x''</math> di '''E'''<supmath>''E^n''</supmath> nel seguente modo:
:<math>\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2}</math>
Questa funzione lunghezza soddisfa le proprietà richieste per una [[norma (geometria)|norma]] e viene chiamata '''norma euclidea''' o '''norma pitagorica''' su <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math>. L''''angolo''' (interno) θ<math>\theta</math> fra due vettori '''<math>\mathbf x'''</math> e '''<math>\mathbf y'''</math> di '''E'''<submath>E^n</submath> è quindi definito come:
 
:<math>\theta = \arccos\left(\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)</math>
dove ''arccos'' è la funzione [[arcocoseno]].
 
dove <math>\arccos</math> è la funzione [[arcocoseno]].

Con queste definizioni la base canonica dello spazio vettoriale <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math> diventa una [[base ortonormale]] per lo spazio euclideo ottenuto arricchendolo con il prodotto scalare standard.
 
A questo punto si può usare la norma per definire una funzione [[Distanza (matematica)|distanza]] (o metrica) su <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math> nel seguente modo:
 
:<math>d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.</math>
 
La forma di questa funzione distanza è basata sul [[teorema di Pitagora]], ed è chiamata '''[[Distanza euclidea|metrica euclidea]]'''.
A questo punto si può usare la norma per definire una funzione [[Distanza (matematica)|distanza]] (o metrica) su <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math> nel seguente modo
:<math>d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.</math>
La forma di questa funzione distanza è basata sul [[teorema di Pitagora]], ed è chiamata '''[[Distanza euclidea|metrica euclidea]]'''.
 
Ogni spazio euclideo quindi costituisce un esempio (a dimensione finita) di [[spazio di Hilbert]] (v. a. [[spazio prehilbertiano]]), di [[spazio normato]] e di [[spazio metrico]].
 
Va osservato che in molti contesti, lo spazio euclideo di ''n'' dimensioni viene denotato con <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math>, dando per scontata la struttura euclidea. In effetti per molti fini applicativi la distinzione che abbiamosi è fatta non ha gravi conseguenze e la suddetta identificazione va considerata un [[abuso di notazione|abuso di linguaggio]] veniale. Infatti negli spazi euclidei si possono introdurre le nozioni di sottospazio e di trasformazione lineare senza complicazioni rispetto a quanto fatto per gli spazi vettoriali.
 
OsserviamoSi osserva anche che ogni [[sottospazio vettoriale]] ''<math>W''</math> di dimensione ''m'' (< ''n'') di '''E'''<supmath>''E^n''</supmath> è [[isometria|isometrico]] allo spazio euclideo '''E'''<supmath>''E^m''</supmath>, ma non in modo canonico: per stabilire una corrispondenza utilizzabile per dei calcoli è necessaria la scelta di una [[base ortonormale]] per ''<math>W''</math> e questa, se in ''<math>W''</math> non si trova alcun vettore della base canonica di '''E'''<supmath>''E^n''</supmath>, non può servirsi di alcun elemento di tale base.
 
==Generalizzazione sui complessi==
{{vedi anche|Spazio prehilbertiano}}
Accanto agli spazi euclidei reali si possono introdurre loro varianti sui numeri complessi, arricchendo lo spazio vettoriale ''n''-dimensionale sul campo dei complessi con un cosiddetto '''prodotto interno hermitiano''' costituito da una [[forma sesquilineare]].
 
In questo caso il prodotto scalare tra vettori viene definito con l'espressione:
 
:<math>(x,y) = \sum_{i=1}^{n} x_i y_{i}^{*} \ </math>
 
La proprietà riflessiva di tale composizione diventa:
 
:<math>(x,y) = (y,x)^* \ </math>
 
e per la moltiplicazione per uno scalare si ha:
 
:<math>(x,\lambda y) = \lambda^* (x,y) \ </math>.
 
==Topologia euclidea==
Dal momento che lo spazio euclideo è uno [[spazio metrico]], lo si può considerare anche uno [[spazio topologico]] dotandolo della naturale topologia indotta dalla metrica. Questo può farsi definendo come base di insiemi aperti l'insieme delle palle aperte, insiemi dei punti che distano da un punto dato meno di un reale positivo fissato (raggio della palla). Mediante questi insiemi aperti si definiscono tutte le nozioni che servono alla topologia metrica su '''E'''<supmath>''E^n''</supmath>. Questa è detta '''topologia euclidea''' e si rivela equivalente alla [[topologia prodotto]] su <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math> considerato come prodotto di ''n'' copie della [[numeri reali|retta reale]] <math>\scriptstyle{\mathbb{R}}^n</math> dotata della sua usuale topologia.
 
Con la "strumentazione" degli spazi vettoriali topologici gli spazi euclidei sono in grado di fornire gli ambienti nei quali sviluppare sistematicamente numerose nozioni dell'[[analisi matematica]], della [[geometria euclidea]], della [[geometria differenziale]] e della [[fisica matematica]] classica.
 
===Invarianza dei domini===
Un risultato importante per la topologia di <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math> è l'[[invarianza dei domini]] di [[L. E. J. Brouwer|Brouwer]]. Ogni sottoinsieme di <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math> (con la sua [[topologia del sottospazio]]), [[omeomorfismo|omeomorfo]] a un altro sottoinsieme aperto di <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math>, è esso stesso aperto. Un'immediata conseguenza di questo è che <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^m}</math> non è omeomorfo a <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math> se <math>\scriptstyle{m \ne n}</math> - un risultato intuitivamente "ovvio" ma che è difficile da dimostrare rigorosamente.
 
===Varietà e strutture esotiche===
Lo spazio euclideo è il prototipo di [[varietà topologica]], e anche di [[varietà differenziabile]]. I due concetti coincidono in generale, tranne in dimensione 4: come mostrato da [[Simon Donaldson]] e da altri, è possibile assegnare all'[[insieme]] <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^4}</math> delle "strutture differenziali esotiche", che rendono lo spazio topologico <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^4}</math> non [[diffeomorfismo|diffeomorfo]] allo spazio standard.
 
==Note==
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* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992|cid =lang |id= ISBN 88-339-5035-2}}
*{{Cita libro | autore=Edoardo Sernesi| titolo=Geometria 1 | editore=Bollati Boringhieri | anno=1989 |città= Torino| id= ISBN 978-88-339-5447-9}}
 
 
== Voci correlate ==
* [[Base (algebra lineare)]]
* [[Forma sesquilineare]]
* [[Geometria euclidea]]
* [[Prodotto scalare]]
* [[Spazio di Minkowski]]
* [[Spazio prehilbertiano]]
* [[Superspazio]]