Spazio euclideo: differenze tra le versioni
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==Spazio <math>\mathbb{R}^n</math></sup>==
===Definizione===
:<math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n)</math>
:<math>a\,\mathbf{x} = (a x_1, a x_2, \ldots, a x_n)</math>
===Basi di spazi vettoriali===
{{vedi anche|
Una base dello spazio <math>\
:<math>\mathbf{e}_1 = (1, 0, \ldots, 0)</math>
:<math>\mathbf{e}_2 = (0, 1, \ldots, 0)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>\mathbf{e}_n = (0, 0, \ldots, 1)</math>
Un vettore arbitrario in <math>\
:<math>\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i</math>
Lo spazio <math>\
==Struttura euclidea==
Lo spazio euclideo è più che un semplice spazio vettoriale. Per ottenere la [[geometria euclidea]] si deve poter parlare di [[distanza (matematica)|distanze]] e [[angolo|angoli]], iniziando con la distanza fra due punti e l'angolo formato da due rette o da due vettori. Il modo intuitivo per fare questo è l'introduzione di quello che viene chiamato ''[[prodotto scalare]] standard'' su <math>\
:<math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n
Lo spazio delle ''n''-uple di numeri reali arricchito con il prodotto scalare, funzione che a due ''n''-uple di reali
Il prodotto scalare permette di definire una "lunghezza" non negativa per ogni vettore
:<math>\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2}</math>
Questa funzione lunghezza soddisfa le proprietà richieste per una [[norma (geometria)|norma]] e viene chiamata
:<math>\theta = \arccos\left(\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)</math>
dove <math>\arccos</math> è la funzione [[arcocoseno]].
Con queste definizioni la base canonica dello spazio vettoriale <math>\ A questo punto si può usare la norma per definire una funzione [[Distanza (matematica)|distanza]] (o metrica) su <math>\
:<math>d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}
La forma di questa funzione distanza è basata sul [[teorema di Pitagora]], ed è chiamata
▲A questo punto si può usare la norma per definire una funzione [[Distanza (matematica)|distanza]] (o metrica) su <math>\scriptstyle{\mathbb{R}^n}</math> nel seguente modo
▲:<math>d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.</math>
▲La forma di questa funzione distanza è basata sul [[teorema di Pitagora]], ed è chiamata '''[[Distanza euclidea|metrica euclidea]]'''.
Ogni spazio euclideo quindi costituisce un esempio (a dimensione finita) di [[spazio di Hilbert]] (v. a. [[spazio prehilbertiano]]), di [[spazio normato]] e di [[spazio metrico]].
Va osservato che in molti contesti, lo spazio euclideo di ''n'' dimensioni viene denotato con <math>\
==Generalizzazione sui complessi==
{{vedi anche|Spazio prehilbertiano}}
Accanto agli spazi euclidei reali si possono introdurre loro varianti sui numeri complessi, arricchendo lo spazio vettoriale ''n''-dimensionale sul campo dei complessi con un cosiddetto
In questo caso il prodotto scalare tra vettori viene definito con l'espressione:
:<math>(x,y) = \sum_{i=1}^{n} x_i y_{i}^{*}
La proprietà riflessiva di tale composizione diventa:
:<math>(x,y) = (y,x)^*
e per la moltiplicazione per uno scalare si ha:
:<math>(x,\lambda y) = \lambda^* (x,y)
==Topologia euclidea==
Dal momento che lo spazio euclideo è uno [[spazio metrico]], lo si può considerare anche uno [[spazio topologico]] dotandolo della naturale topologia indotta dalla metrica. Questo può farsi definendo come base di insiemi aperti l'insieme delle palle aperte, insiemi dei punti che distano da un punto dato meno di un reale positivo fissato (raggio della palla). Mediante questi insiemi aperti si definiscono tutte le nozioni che servono alla topologia metrica su
Con la "strumentazione" degli spazi vettoriali topologici gli spazi euclidei sono in grado di fornire gli ambienti nei quali sviluppare sistematicamente numerose nozioni dell'[[analisi matematica]], della [[geometria euclidea]], della [[geometria differenziale]] e della [[fisica matematica]] classica.
===Invarianza dei domini===
Un risultato importante per la topologia di <math>\
===Varietà e strutture esotiche===
Lo spazio euclideo è il prototipo di [[varietà topologica]], e anche di [[varietà differenziabile]]. I due concetti coincidono in generale, tranne in dimensione 4: come mostrato da [[Simon Donaldson]] e da altri, è possibile assegnare all'[[insieme]] <math>\
==Note==
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* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992|cid =lang |id= ISBN 88-339-5035-2}}
*{{Cita libro | autore=Edoardo Sernesi| titolo=Geometria 1 | editore=Bollati Boringhieri | anno=1989 |città= Torino| id= ISBN 978-88-339-5447-9}}
== Voci correlate ==
* [[Base (algebra lineare)]]
* [[Forma sesquilineare]]
* [[Geometria euclidea]]
* [[Prodotto scalare]]
* [[Spazio di Minkowski]]
* [[Spazio prehilbertiano]]
* [[Superspazio]]
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