Differenze tra le versioni di "Caduta dei gravi"

 
==Equazioni del moto con resistenza dell'aria==
Con la resistenza dell'aria il moto del corpo in caduta è diverso da quello ideale parabolico, questo perché durante la fase di volo il corpo subisce un attrito che ne rallenta il percorso, si ha quindi una forza che si oppone al moto che è la [[Resistenza Aerodinamica|resistenza dell'aria]]. Infatti il corpo si muove dentro un fluido che è l'aria ed è sottoposto quindi ad un [[Attrito|attrito viscoso]].
La forza di attrito che si oppone al moto possiamo esprimerla come:
:<math>\mathbf{D}=b\mathbf{v}</math>
Dove ''b'' è una costante che dipende strettamente dalle caratteristiche del corpo. Per cui la forza totale agente sul corpo sarà
:<math>\mathbf{F}=\mathbf{P}-\mathbf{D}</math>
Scomponendo nelle componenti cartesiane e considerando la forza gravitazionale costante (quindi l'[[accelerazione gravitazionale]] sarà pari a ''g''), raccogliendo si può scrivere
:<math>ma_x\hat{u_x}+ma_y\hat{u_y}=-bv_x\hat{u_x}-(mg+bv_y)\hat{u_y}</math>
Si ottiene il sistema
:<math>
\left\{
\begin{array}{lc}
ma_x=-bv_x\\
ma_y=-mg-bv_y
\end{array}
\right.
</math>
Portiamo tutto al primo membro e dividiamo tutto per la massa del corpo m, possiamo a questo punto sostituire l'accelerazione con la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo e la velocità con la derivata prima rispetto al tempo, otteniamo
:<math>
\left\{
\begin{array}{lc}
\ddot{x}+\frac{b}{m}\dot{x}=0\\
\ddot{y}+\frac{b}{m}\dot{y}+g=0
\end{array}
\right.
</math>
Per semplicità sostituiamo <math>\varepsilon=\frac{b}{m}</math> otteniamo dunque:
:<math>
\left\{
\begin{array}{lc}
\ddot{x}+\varepsilon\dot{x}=0\\
\ddot{y}+\varepsilon\dot{y}+g=0\\
\varepsilon=\frac{b}{m}
\end{array}
\right.
</math>
Si tratta di due equazioni differenziali, una soluzione della seconda del sistema è
:<math>u(x)=-\frac{gt}{\varepsilon}</math>
Inoltre consideriamo anche le condizioni iniziali <math>x(0)=x_0, \dot{x(0)}=v_{x_0}</math> ed <math> y(0)=y_0, \dot{y(0)}=v_{y_0}</math>. Tutti questi dati ci permettono di risolvere le equazioni differenziali ottenendo le equazioni del moto in forma parametrica
:<math>
\left\{
\begin{array}{lc}
x(t)=x_0+\frac{v_{x_0}}{\varepsilon} \cdot \left(1-\mathit{e}^{-\varepsilon t}\right)\\
y(t)=y_0-\frac{gt}{\varepsilon}+\frac{v_{y_0}\varepsilon+g}{\varepsilon^2} \cdot \left(1-\mathit{e}^{-\varepsilon t}\right)\\
\varepsilon=\frac{b}{m}
\end{array}
\right.
</math>
Ed, attraverso delle sostituzioni, l'equazione esplicita di y in funzione di x:
<math>y=y_0+\frac{ln \left(1-\frac{\varepsilon}{v_{x_0}} \cdot (x-x_0)\right)}{\varepsilon^2}g+\frac{v_{y_0}\varepsilon+g}{v_{x_0}\varepsilon} \cdot (x-x_0)</math>
 
==Approfondimenti==
Utente anonimo