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Disuguaglianza di Sobolev: differenze tra le versioni

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NelIn [[matematica]], in particolare nel campo dell'[[analisi matematica]] esiste, una classe'''disuguaglianza di Sobolev''' rientra in una classe di [[disuguaglianza|disuguaglianze]]''', detteil '''dicui nome si deve a [[Sergei Lvovich Sobolev|Sobolev]]''', riguardanti le norme degli [[spazio di Sobolev|spazi di Sobolev]]. Esse servonosono utilizzate per dimostrare il '''teorema di immersione di Sobolev''', (sulle [[immersione continua|inclusioni]] tra alcuni [[spazio di Sobolev|spazi di Sobolev]],) ed il [[teorema di Rellich-Kondrakov]], (secondo cui, sotto condizioni leggermente più forti, alcuni spazi di Sobolev sono [[immersione compatta|contenuti con compattezza]] in altri).
 
== Il teorema di immersione di Sobolev ==
Si denoti con <math>W^{k,p}</math> lo spazio di Sobolev di una [[varietà riemanniana]] compatta di dimensione ''n'', spazio che, detto in breve, è costituito da funzioni le cui prime ''k'' derivate sono in ''<math>L''^p<sup/math>. In questo contesto ''pk'' può essere un qualsiasi numero reale e <math>1 \le p \le \infty</supmath>. (Per <math>p=\infty</math> lo spazio di Sobolev è definito come lo [[spazio di Hölder]] <math>C^{m,\alpha}</math> dove <math>k = m+\alpha</math> e , <math>0<\alpha \le 1</math> e ''m'' è un numero intero.) Il teorema di immersione di Sobolev afferma che se
<math>k\ge 1</math> e <math>k-n/p \ge l-n/q</math> allora:
In questo contesto ''k'' può essere un qualsiasi numero reale e 1≤''p''≤∞. (Per ''p''=∞ lo spazio di Sobolev è definito come lo [[spazio di Hölder]] ''C''<sup>''m'',α</sup>, dove ''k''=''m''+α, 0<α≤1 e ''m'' è un numero intero.) Il teorema di immersione di Sobolev afferma che se
 
''k''≥ l e ''k''−''n''/''p'' ≥ ''l''−''n''/''q'' allora
:<math>W^{k,p}\subseteq W^{l,q}</math>
e questa inclusione è continua. Inoltre se ''k''> ''l'' e ''k''−''n''/''p'' > ''l''−''n''/''q''
allora l'inclusione è [[operatore completamente continuo|completamente continua]] (questa proprietà a volte prende il nome di Teorema di Kondrakov). Le funzioni in <math>W^{l,\infty}</math> hanno tutte le derivate di ordine inferiore a ''l'' continue, e questa condizione implica che negli spazi di Sobolev varie derivate siano continue. In maniera informale queste inclusioni dicono che convertire una stima in ''L''<sup>''p''</sup> in una stima sulla limitatezza costa 1/''p'' derivate per ogni dimensione. ▼
 
▲e questa inclusione è continua. Inoltre se <math>k\ge 1</math> e <math>k-n/p \ge l-n/q</math> allora l'inclusione è [[operatore completamente continuo|completamente continua]]. (questaQuesta proprietà a volte prende il nome di Teorema''teorema di Kondrakov)''. Le funzioni in <math>W^{l,\infty}</math> hanno tutte le derivate di ordine inferiore a ''l'' continue, e questa condizione implica che negli spazi di Sobolev varie derivate siano continue. In maniera informale queste inclusioni dicono che convertire una stima in ''L''<supmath>''L^p''</supmath> in una stima sulla limitatezza costa 1/''p'' derivate per ogni dimensione.
Ci sono altre varianti del teorema di immersione per varietà non compatte, come '''R'''<sup>''n''</sup> ([[Stein]] 1970)▼
 
▲Ci sono altre varianti del teorema di immersione per varietà non compatte, come '''R'''<supmath>''\R^n''</supmath> ([[Stein]] 1970).
 
== Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev ==
Sia ''<math>u''(''x'')</math> una funzione continua e differenziabile a [[Funzione a supporto compatto|supporto compatto]] da <math>\mathbb{R}^n</math> a <math>\mathbb{R}</math>. Allora per <math>1\leq p <n </math> esiste una costante <math>C_n(p)</math> tale che:
 
: <math>\|u\|_{L^{p^*}(\mathbb{R}^n)}\leq C_n(p) \|Du\|_{L^{p}(\mathbb{R}^n)}</math>▼
 
dove:▼
 
▲: <math>\|u\|_{L^{p^*}(\mathbb{R}^n)}\leq C_n(p) \|Du\|_{L^{p}(\mathbb{R}^n)}</math>
▲dove
:<math> p^*=\frac{pn}{n-p}>p</math>
 
è il numero chiamato ''coniugato di Sobolev'' di ''p''.
 
=== Costanti ottimali===
Nella disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev può essere interessante conoscere i valori delle costanti ottimali:, cioè le costanti più piccole che verificano la disuguaglianza;, e inoltre riuscire a trovare delle funzioni che verificano l'uguaglianza. RiportiamoSia <math>1<p<n</math>, allora due risultati riferendoci all'articolo del Talenti ''Best Costant in Sobolev Inequality'' indicato in bibliografia.vale:
 
Sia <math>1<p<n</math>, allora vale
:<math>\|u\|_{L^{p^*}}\leqslant C_n(p)\|Du\|_{L^p}</math>
 
con:
 
:<math>C_n(p)=\pi^{-\frac{1}{2}}n^{-\frac{1}{p}}\left(\frac{p-1}{n-p}\right)^{1-\frac{1}{p}}\left(\frac{\Gamma
\left(1+\frac{n}{2}\right)\Gamma(m)}{\Gamma\left(\frac{n}{p}\right)\Gamma\left(1+n-\frac{n}{p}\right)}\right)
^{\frac{1}{n}}.</math>
 
Inoltre vale l'uguaglianza se <math>u</math> è della forma:
 
:<math>u(x)=\left(a+b|x|^{\frac{p}{p-1}}\right)^{1-\frac{n}{p}}</math>
Line 35 ⟶ 39:
con opportuni <math>a,b</math> positivi.
 
Nel teorema compare la [[funzione gamma]]. Vediamo che leLe funzioni che realizzano l'uguaglianza sono a [[simmetria radiale]], in accordo con la [[disuguaglianza di Polya-Szego]]. Infatti, se vogliamosi vuole cercare di diminuire la [[norma (matematica)|norma]] del [[gradiente]] di una funzione, possiamosi può considerare il suo [[riordinamento radiale]].
 
Il caso <math>p=1</math> invece è un po' differente. In questo caso <math>1^*=\frac{n}{n-1}.</math>
 
VediamoSi vede che in generale possiamosi può trovare la costante ottimale per l'immersione di <math>W^{1,1}</math> in <math>L^{\frac{n}{n-1}}</math>.
 
Vale infatti il seguente teorema:. siaSia <math>u \in W^{1,1}</math>, allora:▼
 
▲Vale infatti il seguente teorema: sia <math>u \in W^{1,1}</math>, allora
:<math>\|u\|_{L^{1^*}}\leqslant n^{-1}\omega_n^{-1}\|D u\|_{L^1}</math>
Inoltre non esistono funzioni che realizzano l'uguaglianza.
 
OsserviamoInoltre non esistono funzioni che realizzano l'uguaglianza. Si osserva che la costante che compare nel teorema è proprio la stessa che compare nella [[disuguaglianza isoperimetrica]].
 
==Disuguaglianza di Nash ==
Esiste una costante ''<math>C'' > 0</math>, tale che per ogni <math>u\in L^1(R^n)\cap H^1(R^n)</math>,:
 
:<math>\|u\|_{L^2(R^n)}^{1+2/n}\leq C\|u\|_{L^1(R^n)}^{2/n} \| Du\|_{L^2(R^n)}</math>
 
== Disuguaglianza di Morrey ==
Sia <math>n<p\leq \infty</math>. Allora esiste una costante ''<math>C''</math>, che dipende solo da ''p'' e ''n'', tale che:
 
:<math>\|u\|_{C^{0,\gamma}(R^n)}\leq C \|u\|_{W^{1,p}(R^n)}</math>
 
per ogni <math>u\in C^1 (\R^n)</math>, dove:
 
:<math>\gamma:=1-n/p</math>
In altre parole: se <math>u\in W^{1,p}(R^n)</math> allora ''u'' è [[Condizione di Hölder|continua secondo Hölder]] (con esponente <math>\gamma</math>), dopo essere stata eventualmente ridefinita su un insieme di misura nulla.▼
 
▲In altre parole: se <math>u\in W^{1,p}(\R^n)</math> allora ''u'' è [[Condizione di Hölder|continua secondo Hölder]] (con esponente <math>\gamma</math>), dopo essere stata eventualmente ridefinita su un insieme di misura nulla.
Un risultato analogo vale in un dominio limitato ''U'' con bordo ''C''<sup>1</sup>; in questo caso vale:▼
 
▲Un risultato analogo vale in un dominio limitato ''<math>U''</math> con bordo ''C''<supmath>C^1</supmath>; in questo caso vale:
 
:<math>\|u\|_{C^{0,\gamma}(U)}\leq C \|u\|_{W^{1,p}(U)}</math>
 
dove la costante ''C'' dipende da ''n'', ''p'' e ''U''.▼
dove la costante <math>C</math> dipende da ''n'', ''p'' e <math>U</math>. Questa versione della disuguaglianza segue dalla precedente attraverso un'estensione (che conserva la norma) di ''u'' da ''W''<supmath>W^{1,''p''}(U)</supmath>(''U'') a ''W''<supmath>W^{1,''p''</sup>}('''\R'''<sup>''^n'')</supmath>).
 
== Disuguaglianze generali di Sobolev ==
Sia ''<math>U''</math> un sottoinsieme limitato e aperto di <math>\R^n</math>, con un contorno di classe <math>C^1</math>. Si ipotizzi che <math>u\in W^{k,p}(U)</math>.
* Se <math>k< n/p</math> allora <math>u\in L^q(U)</math>, dove:▼
: (i) Se
::<math>k<\frac{n1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{k}{n}</math>
Si:si ha inoltre la stima:▼
▲allora <math>u\in L^q(U)</math>, dove
::<math>\frac{1}|u\|_{L^q(U)}=\fracleq C \|u\|_{1}W^{k,p}-\frac{k}{n(U)}</math>,
▲dove la costante ''<math>C''</math> dipende solo da ''nk'', ''p'' e, ''Un'' e <math>U</math>.
▲Si ha inoltre la stima
* Se <math>k>n/p</math> allora <math>u</math> appartiene allo [[spazio di Holder]] <math> C^{k-[n/p]-1,\gamma}(U)</math>, dove:▼
::<math>\|u\|_{L^q(U)}\leq C \|u\|_{W^{k,p}(U)}</math>,
::<math>k>\gamma=\left[\frac{n}{p}\right]+1-\frac{n}{p}</math>▼
dove la costante ''C'' dipende solo da ''k'', ''p'', ''n'', e ''U''.▼
:se n/p non è un intero, oppure:
: (ii) Se
::<math>\gamma</math> è un qualsiasi numero positivo <minore di 1, se <math>n/p</math> è un intero. ▼
▲::<math>k>\frac{n}{p}</math>
:Si ha inoltre la stima▼
▲allora <math>u</math> appartiene allo [[spazio di Holder]] <math> C^{k-[n/p]-1,\gamma}(U)</math>, dove
::<math>\gamma=|u\left|_{C^{k-[\frac{n}{/p}\right]+-1-,\frac{ngamma}(U)}\leq C \|u\|_{W^{k,p}(U)}</math> se n/p non è un intero, o
▲dove la costante ''<math>C''</math> dipende solo da ''k'', ''p'', ''n'', <math>\gamma</math> e ''<math>U''</math>.
▲::<math>\gamma</math> è un qualsiasi numero positivo <1, se n/p è un intero
▲Si ha inoltre la stima
::<math>\|u\|_{C^{k-[n/p]-1,\gamma}(U)}\leq C \|u\|_{W^{k,p}(U)}</math>,
dove la costante ''C'' dipende solo da ''k'', ''p'', ''n'', <math>\gamma</math>, e ''U''.
 
==Caso <math>p=n</math>==
Se <math>u\in W^{1,n}(R^n)\cap L^1_{loc}(R^n)</math>, allora <math>u</math> è una funzione con [[oscillazione media limitata]] e:
:<math>\|u\|_{BMO}<C\|Du\|_{L^n(R^n)}</math>, per qualche costante ''C'' che dipende solo da ''n''.
per qualche costante <math>C</math> che dipende solo da ''n''. Questa stima è un corollario della [[disuguaglianza di Poincaré]].
 
==Voci correlate==▼
*[[Teorema di Brothers-Ziemer]]▼
*[[Riordinamento radiale]]▼
*[[Disuguaglianza di Polya-Szego]]▼
 
==Bibliografia==
* G.Talenti, ''Best Costant in Sobolev Inequality'', Annali di Matematica Pura e Applicata, volume 110 (1976), pp.&nbsp;353–376.
 
▲==Voci correlate==
▲*[[Disuguaglianza di Polya-Szego]]
▲*[[Riordinamento radiale]]
▲*[[Teorema di Brothers-Ziemer]]
 
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Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Disuguaglianza_di_Sobolev"