Disuguaglianza di Sobolev: differenze tra le versioni

In [[matematica]], in particolare nel campo dell'[[analisi matematica]], una '''disuguaglianza di Sobolev''' rientra in una classe di [[disuguaglianza|disuguaglianze]], il cui nome si deve a [[Sergei Lvovich Sobolev|Sobolev]], riguardanti le [[Norma (matematica)|norme]] definite deglinegli [[spazio di Sobolev|spazi di Sobolev]]. Esse sono utilizzate per dimostrare il '''teorema di immersione di Sobolev''' (sulle [[immersione continua|inclusioni]] tra alcuni [[spazio di Sobolev|spazi di Sobolev]]) ed il [[teorema di Rellich-Kondrakov]] (secondo cui, sotto condizioni leggermente più forti, alcuni spazi di Sobolev sono [[immersione compatta|contenuti con compattezza]] in altri).

In altre parole:, se <math>u\in W^{1,p}(\R^n)</math> allora ''<math>u''</math> è [[Condizione di Hölder|continua secondo Hölder]] (con esponente <math>\gamma</math>), dopo essere stata eventualmente ridefinita su un insieme di misura nulla.

dove la costante <math>C</math> dipende da ''n'', ''p'' e <math>U</math>. Questa versione della disuguaglianza segue dalla precedente attraverso un'estensione (che conserva la norma) di ''<math>u''</math> da <math>W^{1,p}(U)</math> a <math>W^{1,p}(\R^n)</math>.

:siSi ha inoltre la stima:

:<math>\|u\|_{L^q(U)}\leq C \|u\|_{W^{k,p}(U)}</math>,

:dove la costante <math>C</math> dipende solo da ''k'', ''p'', ''n'' e <math>U</math>.

:se <math>n/p</math> non è un intero, oppure:

:Si ha inoltre la stima:

:<math>\|u\|_{C^{k-[n/p]-1,\gamma}(U)}\leq C \|u\|_{W^{k,p}(U)}</math>,

:dove la costante <math>C</math> dipende solo da ''k'', ''p'', ''n'', <math>\gamma</math> e <math>U</math>.

* G.Talenti, ''"Best Costant in Sobolev Inequality''", ''Annali di Matematica Pura e Applicata, volume 110'' (1976), pp.&nbsp;353–376.