Teorema di Rellich-Kondrakov: differenze tra le versioni
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:<math>W^{1, p} (\Omega) \hookrightarrow L^{p^{*}} (\Omega) \qquad W^{1, p} (\Omega) \subset \subset L^{q} (\Omega) \mbox{ for } 1 \leq q < p^{*}</math>
==Conseguenze==
Dal momento che un'[[Immersione (matematica)|immersione]] è compatta se e solo se l'operatore di inclusione è [[operatore compatto|compatto]], il teorema di Rellich-Kondrakov implica che ogni successione uniformemente limitata in <math>W^{1,p}(\Omega, \R)</math> possiede una [[sottosuccessione]] convergente in <math>L^{q}(\Omega, \R)</math>. Enunciato in tal modo, questo risultato è conosciuto come ''teorema di selezione di Rellich-Kondrakov''.
Il teorema di Rellich-Kondrakov può essere utilizzato per dimostrare la [[disuguaglianza di Poincaré]], che afferma che per <math>u \in >W^{1,p}(\Omega, \R)</math> (dove <math>\Omega \subseteq \R^n</math> soddisfa le medesime assunzioni poste in precedenza):
:<math>\| u - u_{\Omega} \|_{L^{p} (\Omega)} \leq C \| \nabla u \|_{L^{p} (\Omega)}</math>
per qualche costante <math>C</math> dipendente soltanto da ''p'' e dalla geometria del dominio <math>\Omega</math>, dove:
:<math>u_{\Omega} := \frac{1}{\mathrm{meas} (\Omega)} \int_{\Omega} u(x) \, \mathrm{d} x</math>
denota il valor medio di <math>u</math> su <math>\Omega</math>.
== Bibliografia==
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