Insieme di generatori: differenze tra le versioni
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Più in generale, se <math> S </math> è un sottoinsieme di <math> A </math>, l'insieme <math> \langle S \rangle </math> '''generato''' da <math> S </math> è il più piccolo sottoinsieme di <math> A </math> chiuso rispetto alle operazioni definite su <math> A </math> contenente <math> S </math>
Nei casi più frequenti, <math> A </math> è un [[gruppo (matematica)|gruppo]], un [[anello (algebra)|anello]] o uno [[spazio vettoriale]].
Solitamente, le strutture che ammettono un numero finito di generatori sono una classe più facile da studiare: si ottengono così i '''gruppi finitamente generati''' e gli spazi vettoriali di [[dimensione di Hamel|dimensione]] finita. == Gruppi ==
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* Il [[prodotto diretto]] di due gruppi finitamente generati è finitamente generato.
* Un [[gruppo quoziente|quoziente]] di un gruppo finitamente generato è finitamente generato. Invece un sottogruppo di un gruppo finitamente generato può non essere finitamente generato.
== Anelli ==▼
Sia <math>R</math> un [[anello (algebra)|anello]] e <math>S</math> un suo sottoinsieme. Il sottoanello <math>\langle S \rangle</math> generato da <math>S</math> è il più piccolo sottoanello di <math>R</math> che contiene gli elementi di <math>S</math>. Esso è costituito da tutte le combinazioni di somme e prodotti degli elementi di <math>S</math> e dei loro opposti.▼
== Spazi vettoriali ==
{{vedi anche|Copertura lineare}}
Sia <math> V </math> uno [[spazio vettoriale]]
<math>G = \{v = \sum\limits_{i=1}^n a_i v_i \; | \; a_1, ... , a_n \in K , \forall v \in V \} </math> .
▲== Anelli ==
▲Sia <math>R</math> un [[anello (algebra)|anello]] e <math>S</math> un suo sottoinsieme. Il sottoanello <math>\langle S \rangle</math> generato da <math>S</math> è il più piccolo sottoanello di <math>R</math> che contiene gli elementi di <math>S</math>. Esso è costituito da tutte le combinazioni di somme e prodotti degli elementi di <math>S</math> e dei loro opposti.
Come si vede dalla definizione, si tratta di un insieme di vettori che permette di ricostruire tutti i vettori dello spazio vettoriale V mediante [[combinazione lineare]] dei suoi elementi. Se ne possono immediatamente dedurre alcune proprietà:
* Un sistema di generatori di uno spazio vettoriale è certamente un suo sottospazio.
* Per ogni spazio vettoriale non vuoto, esistono infiniti sistemi generatori.
* La [[Base (matematica)|base]] di uno spazio vettoriale è sempre un sistema di generatori; al contrario, un sistema di generatori non è necessariamente una base.
* La minima cardinalità di un insieme <math> S </math> di generatori per <math> V </math> è la [[dimensione di Hamel|dimensione]] di <math> V </math>.
==Bibliografia==
*{{en}}{{Cita libro|autore=Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. |titolo=Generators and Relations for Discrete Groups |città=New York |editore=Springer-Verlag |anno=1980 | isbn=0-387-09212-9}}
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== Collegamenti esterni ==
* {{en}} [http://mathworld.wolfram.com/GroupGenerators.html Mathworld: generatori di un gruppo]
* http://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/matrici-e-vettori/678-sistema-di-generatori-di-uno-spazio-vettoriale.html
{{Portale|matematica}}
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