Radice dell'unità: differenze tra le versioni

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LeIn [[matematica]], le '''radici <math>n</math>-esime dell'unità''' sono tutti i numeri ([[numeriNumeri reali|reali]] o [[numeriNumeri complessi|complessi]]) la cui ''<math>n</math>-esima'' [[potenza (matematica)|potenza]] è pari a <math>1</math>, ovvero le soluzioni dell'equazione:
:<math> x^n \,=\, 1.</math>
 
== Le radici ==
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Tra queste radici le uniche [[numero reale|reali]] sono ''r''<sub>0</sub>{{sp}}={{sp}}[[1 (numero)|1]] e, se <math>n=2k</math> (cioè è pari) ''r<sub>k</sub>''{{sp}}={{sp}}[[-1]].
 
Per ogni ''<math>n''</math> l'insieme delle radici <math>n</math>-esime dell'unità, con l'operazione data dalla moltiplicazione usuale sui complessi, forma un [[gruppo ciclico]].
 
Si dicono '''radici primitive''' <math>n</math>-esime dell'unità tutte quelle radici che generano il gruppo delle radici <math>n</math>-esime dell'unità. È facile provare che le radici primitive <math>n</math>-esime dell'unità sono quelle radici <math>n</math>-esime dell'unità tali che:
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==Radici di un numero complesso qualsiasi==
Le radici <math> n</math>-esime di un numero complesso <math> z </math> possono essere descritte in modo più agevole rappresentando il numero complesso in [[coordinate polari|forma polare]]
:<math>z = |z|e^{i\phi} = |z|\left(\cos \phi + i \sin \phi\right).</math>
Se <math>z</math> è diverso da zero, le radici <math>n</math>-esime di <math>z</math> sono effettivamente <math>n</math> radici distinte. Una di queste è la seguente