Pentagono: differenze tra le versioni

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In [[geometria]], un '''pentagono''' è un [[poligono]] di cinque lati e cinque angoli, uguali o disuguali, e che può essere concavo o convesso, semplice o complesso (intrecciato). Un caso particolare di pentagono intrecciato è il [[pentagrammaPentagramma (geometria)|pentagramma]], la cui forma più nota può essere ottenuta da un pentagono regolare estendendone i lati, oppure disegnandone le diagonali: è la cosiddetta stella a cinque punte.
 
==Pentagono regolare==
[[File:Regular Pentagon Geometry 1.svg|thumb|upright=1.8|Fig. 1: Determinazione degli angoli del Pentagonopentagono Regolareregolare]]
 
[[File:Regular Pentagon Geometry 1.svg|thumb|upright=1.8|Fig. 1: Determinazione degli angoli del Pentagono Regolare]]
 
Per definizione, un pentagono regolare: è
* un [[poligono convesso]] costituito da cinque [[angoloAngolo|angoli]] e di cinque [[latoLato (geometria)|lati]];
* i cinque lati sono [[Congruenza_(geometria)|congruenti]];
* i cinque angoli sono anch'essi congruenti (in Fig. 1 uno degli angoli interni è identificato con la lettera γ).
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Stabilito il fatto che un pentagono regolare può essere inscritto in una circonferenza, si può quantificare l'ampiezza degli [[Cerchio#Angoli_particolari_nel_cerchio|angoli al centro]], ovvero degli angoli che dal centro O della circonferenza sottendono ciascuno dei lati del pentagono:
 
::<math>\alpha \ = \ \frac {2 \ \pi} {5} \ = \ 72^\circ</math>
 
Il punto E giace sulla circonferenza circoscritta al pentagono, quindi gli angoli AEB, BEC e CED, che sottendono rispettivamente gli archi (e le relative corde / lati) AB, BC e CD, hanno ampiezza ciascuno metà dell'angolo al centro:
 
::<math>\beta \ = \ \frac {\alpha}{2} \ = \ \frac {\pi}{5} \ = \ 36^\circ</math>
 
Di conseguenza l'angolo interno del pentagono vale:
 
::<math>\gamma \ = \ 3 \cdot \beta \ = \ \frac {3}{5} \ \pi \ = \ 108^\circ</math>
 
Esaminiamo ora la relazione fra lati e diagonali. Ogni diagonale del pentagono è parallela al lato opposto (ovvero a quello fra i lati del pentagono che non tocca una delle estremità della diagonale presa in esame). Verificando un caso particolare, si può vedere che gli angoli BEC e ECD sono alterni interni delle rette BE e CD tagliate dalla trasversale CE; essendo tali angoli congruenti (entrambi di ampiezza pari a β), il lato CD e la diagonale BE risultano appunto essere paralleli. Lo stesso vale per ogni altra coppia lato / diagonale del pentagono.
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===Lunghezze del lato e della diagonale===
[[File:Regular Pentagon Geometry 2.svg|thumb|upright=1.8|Fig. 2: Determinazione delle lunghezze di lato, diagonale ed apotema del Pentagonopentagono Regolareregolare]]
 
[[File:Regular Pentagon Geometry 2.svg|thumb|upright=1.8|Fig. 2: Determinazione delle lunghezze di lato, diagonale ed apotema del Pentagono Regolare]]
 
Osservazione preliminare: il triangolo ABG è isoscele in quanto gli angoli in A e in B sono congruenti: ne consegue che sono congruenti tutti i segmenti come BG e CJ (che serviranno fra poco) che partono dai vertici pentagono ABCDE per congiungersi al vertici de pentagono interno GHJKL, costruito dalle diagonali.
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Si osservi ora che i triangoli BAE e CJD sono simili, in quanto i lati omologhi sono tutti paralleli fra loro, e che CH=CJ. Vale dunque la proporzione:
 
::<math>HC : CD \ = \ AB : BE </math>
 
Osserviamo ora la diagonale BE, tagliata in G dalla diagonale AC. Il segmento GE ha ovviamente la stessa lunghezza sia di CD (CDEG è un parallelogramma) che di BA, mentre abbiamo già dimostrato che BG e CJ sono congruenti. Quindi possiamo scrivere:
 
::<math>BG : GE \ = \ GE : ( BG + GE )</math>
 
La proporzione qui sopra ha la forma classica <math>a : b \ = \ b : (a+b)</math>, quella che definisce la [[sezione aurea]]. Ne consegue che la lunghezza s del lato del pentagono rispetto alla sua diagonale d è:
 
::<math>s \ = \ d \ \frac{\sqrt{5}-1}{2}</math>
 
Viceversa:
 
::<math>d \ = \ s \ \frac{\sqrt{5}+1}{2}</math>
 
Nel triangolo BDE si tracci l'altezza dal vertice B al piede S, e si prolunghi il segmento fino ad incontrare la circonferenza circoscritta al pentagono in T. Per costruzione, l'angolo BSE è retto, quindi si può applicare il [[teorema di Pitagora]] per calcolare la lunghezza del segmento BS:
 
::<math>h \ = \ \sqrt{ d^2 - \left( d \ \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right) ^2 } = d \ \sqrt{ \frac{5 + \sqrt{5}}{8}}</math>
 
Infine si può calcolare la lunghezza del segmento BT, che è un diametro della circonferenza circoscritta, e quindi vale due volte il raggio r della medesima: considerando il fatto che i triangoli BSE e BTE sono simili (sono entrambi rettangoli, e hanno il vertice B in comune), si imposta la proporzione:
 
::<math>h:d \ = \ d:2\cdot r</math>
 
da cui
 
::<math>r \ = \ \frac{d^2} {2 \cdot h} \ = \ \frac {d^2} {2 \cdot d \ \sqrt{ \frac {5+\sqrt{5}} {8}}} \ = \ d \ \sqrt{ \frac{ 5 - \sqrt{5}}{10}}</math>
 
Invertendo quest'ultima espressione possiamo ricavare la lunghezza della diagonale rispetto al raggio:
 
::<math>d \ = \ r \ \sqrt{ \frac{ 5+\sqrt{5}}{2}} \ \simeq \ 1{,}902113032 \ r</math>
 
Il rapporto già calcolato fra lunghezze del diametro e del lato ci consente di ricavare la lunghezza del lato rispetto al raggio:
 
::<math>s \ = \ d \ \frac {\sqrt{5}-1}{2} \ = \ r \ \sqrt{ \frac{ 5+\sqrt{5}}{2}} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2} \ = \ r \ \sqrt{ \frac {5-\sqrt{5}} {2}} \ \simeq \ 1{,}175570504 \ r</math>
 
Infine, per completezza, si può calcolare la lunghezza del segmento ET, che è il lato del decagono inscritto nella stessa circonferenza del pentagono (questo dato sarà utile per descrivere la costruzione del pentagono regolare secondo Tolomeo). Come già detto, il triangolo BTE è rettangolo, quindi si può di nuovo applicare il teorema di Pitagora:
 
::<math>s_{10} \ = \ \sqrt{ (2 \ r2r)^2 \ - \ d^2 } = \sqrt{ 4 \ r4r^2 - r^2 \ \frac {5+\sqrt{5}}{2}} \ = \ r \ \frac{\sqrt{5}-1}{2}</math>
 
====Incommensurabilità di lato e diagonale====
[[File:Regular Pentagon Incommensurability.svg|thumb|upright=1.4|Fig. 3: Dimostrazione dell'incommensurabilità fra Latolato e Diagonalediagonale del Pentagonopentagono Regolareregolare]]
 
[[File:Regular Pentagon Incommensurability.svg|thumb|upright=1.4|Fig. 3: Dimostrazione dell'incommensurabilità fra Lato e Diagonale del Pentagono Regolare]]
 
Come già mostrato, il lato e la diagonale del pentagono regolare stanno fra loro come il rapporto aureo. Quella che segue è la dimostrazione che tale rapporto è [[Incommensurabilità|incommensurabile]], ovvero che il rapporto fra dette lunghezze non può essere espresso da un numero razionale.
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L'apotema può essere calcolata sottraendo la lunghezza di un raggio dal segmento h (si vedano per chiarezza in Fig. 2 i segmenti BT e AF, congruenti):
 
::<math>a \ = \ h \ - \ r \ = \ d \ \sqrt{ \frac{5 + \sqrt{5}}{8}} \ - \ r \ = \ r \ \sqrt{ \frac{ 5+\sqrt{5}}{2}} \ \sqrt{ \frac{5 + \sqrt{5}}{8}} \ - \ r \ = \ r \ \frac{1+\sqrt{5}}{4} \ \simeq \ 0{,}8090169943 \ r</math>
 
Un ultimo valore, che serve per calcolare l'area del pentagono regolare, è il cosiddetto Numero Fisso, definito come rapporto fra apotema e lato:
 
::<math>nf \ = \ \frac{a}{s} \ = \ \frac {r \ \frac{1+\sqrt{5}}{4}} {r \ \sqrt{ \frac {5-\sqrt{5}} {2}}} \ = \ \sqrt{ \frac{ \sqrt{5}}{10} + \frac{1}{4}} \ \simeq \ 0{,}6881909602</math>
 
===Determinazione delle lunghezze per via trigonometrica===
 
[[File:Regular Pentagon Trigonometry.svg|thumb|px400|Fig. 4: Determinazione lunghezze di lato, diagonale ed apotema per via trigonometrica]]
 
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Dalla Fig. 4 si può ricavare il modo più semplice per determinare le varie lunghezze in basa al raggio della circonferenza circoscritta. Dati l'angolo α che coincide con l'angolo al centro del pentagono; e β, metà di tale valore, si ricava facilmente che il lato del pentagono CD vale:
 
::<math>s \ = \ 2 \ r \2r \sin \beta \ = \ 2 \ r \ \sin \frac{\pi}{5} \ = \ 2 \ r \2r \sin 36^\circ </math>
 
L'apotema OF:
 
::<math>a \ = \ r \ \cos \beta \ = \ r \ \cos \frac{\pi}{5} \ = \ r \ \cos 36^\circ</math>
 
La diagonale BE:
 
::<math>d \ = \ 2 \ r \2r \sin \alpha \ = \ 2 \ r \2r \sin \frac{2 \ \pi}{5} \ = \ 2 \ r \2r \sin 72^\circ</math>
 
===Area===
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L'area del pentagono è la somma delle aree di 5 triangoli con base pari al lato e altezza pari all'apotema. Di seguito le formule per il calcolo dell'area in base alle lunghezze del lato e del raggio della circonferenza circoscritta:
 
::<math>A \ = \ \frac{5}{2} \ s \cdot a \ = \ \frac{5}{2} \ s \cdot s \ \frac{a}{s} \ = \ \frac{5}{2} \ s^2 \cdot nf \ \simeq \ 1{,}7204774 \ s^2 </math>
 
::<math>A \ = \ \frac{5}{2} \ s \cdot a \ = \ \frac{5}{2} \ r \ \sqrt{ \frac {5-\sqrt{5}} {2}} \cdot r \ \frac{1+\sqrt{5}}{4} \ = \ \frac{5}{2} \ \sqrt{ \frac{5+\sqrt{5}}{8}} \ r^2 \ \simeq \ 2{,}37764129 \ r^2</math>
 
===Rapporti fra lunghezze===
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==Costruzione del pentagono regolare==
 
[[File:Regular Pentagon Geometry Euclid.svg|thumb|px450|Fig. 5: Costruzione del pentagono regolare secondo Euclide]]
 
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===Costruzione secondo Euclide===
 
Nei suoi [[Elementi_(Euclide)|Elementi]], [[Euclide]] prende in considerazione il [[Triangolotriangolo aureo]] costituito da due diagonali e un lato del Pentagonopentagono Regolareregolare, del quale sfrutta le seguenti caratteristiche:
 
* Gli angoli interni di due angoli sono il doppio dell'angolo rimanente;
* Il rapporto fra ciascuno dei due lati e la base è pari alla [[Sezionesezione aurea]].
 
In Fig. 5 è mostrata una sintesi delle proposizioni descritte da Euclide, con la sola differenza per cui, per semplicità, invece di inscrivere il pentagono in una circonferenza data, se ne costruisce uno a partire da una sua diagonale:
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* a differenza di Euclide, che inscrive il triangolo ottenuto in un cerchio dato<ref>Euclide, Elementi, Libro IV, proposizione 11: Iscrivere in un cerchio dato un pentagono equilatero ed equiangolo</ref>, qui come accennato si vuole tracciare un Pentagono regolare partendo da una sua diagonale. Si traccia quindi il cerchio circoscritto al triangolo BCE<ref>Euclide, Elementi, Libro IV, Proposizione 5: Circoscrivere un cerchio ad un triangolo dato.</ref>: si tratta della circonferenza ABCDE di cui qui si omettono i passaggi necessari a determinarne il centro;
 
* i punti B, C e D sono punti già noti del Pentagonopentagono cercato; il punto A è l'intersezione fra l'arco JAK e la circonferenza ABCDE; il punto D viene trovato con un arco centrato in E e di raggio AE.
 
===Costruzione secondo Tolomeo===
[[File:Regular Pentagon Geometry Ptolemy.svg|thumb|upright=1.4|Fig. 6: costruzione del pentagono regolare secondo Tolomeo]]
 
[[File:Regular Pentagon GeometryInscribed Ptolemyin a Circle 240px.svggif|thumb|upright=1.4|Fig. 67: costruzioneanimazione deldella Poligonocostruzione Regolaredel secondopentagono Tolomeoregolare]]
 
[[File:Regular Pentagon Inscribed in a Circle 240px.gif|thumb|Fig. 7: animazione della costruzione del Pentagono Regolare]]
 
La costruzione più nota del Pentagono Regolare non è quella proposta da Euclide, ma deriva da un abbozzo che compare nell'[[Almagesto]] di [[Claudio_Tolomeo|Tolomeo]]<ref>Tolomeo, Almagesto, Libro I - 10: sulla misura delle corde</ref>. In effetti Tolomeo non si propone di costruire un pentagono regolare, bensì di determinare la lunghezza della [[Corda (geometria)|corda]] sottesa da un angolo al centro di 72°, proprio la lunghezza del lato del pentagono (da questo valore ricaverà lo scheletro della sua [[Tavola trigonometrica|Tavola delle Corde]], comprendente la lunghezza delle corde di tutti gli angoli multipli di 12°).
Line 213 ⟶ 206:
* Sia data una circonferenza centrata in O, della quale due assi ortogonali siano OA e OP; si trovi il punto L intermedio fra O e P. La lunghezza del segmento AL rispetto al raggio della circonferenza è:
 
:<math>AL \ = \ \sqrt{ r^2 + \left( \frac{r}{2} \right)^2 } \ = \ r \ \frac { \sqrt{5}} {2} </math>
 
* Si tracci l'arco AM centrato in L di raggio AL. La lunghezza del segmento OM, che coincide con la lunghezza del lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza, è:
 
:<math>OM \ = \ r \ \frac { \sqrt{5} - 1} {2} </math>
 
* Tracciando l'arco BME con centro in A e raggio AM si determinano i punti B ed E che, assieme ad A, costituiscono i primi tre punti del pentagono. Infatti il segmento AM ha proprio la lunghezza del lato del pentagono (si tenga presente che il segmento OA è un raggio della circonferenza circoscritta):
 
:<math>AM \ = \sqrt{ OA^2 + OM^2} \ = \ \sqrt{r^2 + \left( r \ \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2} \ = \ r \ \sqrt{ \frac{5-\sqrt{5}}{2}}</math>
 
* La determinazione dei rimanenti punti C e D può essere fatta riportando la lunghezza del lato AB più volte sulla circonferenza, ma c'è un modo molto più elegante. Prolungando l'arco AM, centrato in L, fino al punto N di intersezione con l'asse orizzontale, si determina il segmento AN la cui lunghezza è coincide con la diagonale del pentagono, quindi è sufficiente tracciare l'arco NDC, centrato in A, per trovare i due punti mancanti. Infatti:
 
:<math>ON \ = \ r \ \frac { \sqrt{5} + 1} {2} </math>
 
:<math>AN \ = \sqrt{ OA^2 + ON^2} \ = \ \sqrt{r^2 + \left( r \ \frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^2} \ = \ r \ \sqrt{ \frac{5+\sqrt{5}}{2}}</math>
 
Il fatto che i lati del decagono, esagono e pentagono regolari inscritti in circonferenze di pari raggio costituiscono i lati di un triangolo rettangolo era già stato dimostrato da Euclide<ref>Euclide, Elementi, Libro XIII, Proposizione 10: Se si iscrive in un cerchio un pentagono equilatero, il quadrato del lato del pentagono è uguale alla somma dei quadrati dei lati dell'esagono e del decagono regolari che siano inscritti nello stesso cerchio.</ref>. Egli usa però questa dimostrazione non per la costruzione del pentagono regolare, ma dell'[[Icosaedro]] inscritto in una sfera<ref>Euclide, Elementi, Libro XIII, Proposizione 16: Costruire un icosaedro iscrivendolo in una sfera di diametro dato</ref>.
 
===Costruzione con un cerchio di Carlyle===
[[File:Regular Pentagon Inscribed in aCarlyle Circle 240px.gif|thumb|Fig. 78: animazioneDeterminazione del cerchio di Carlyle per dellala costruzione del Pentagonopentagono Regolareregolare]]
 
[[File:Regular Pentagon Using Carlyle Circle.gif|thumb|Fig. 89: DeterminazioneCostruzione del Cerchiopentagono diregolare Carlylecon peril lacerchio costruzionedi del Pentagono RegolareCarlyle]]
[[File:Regular Pentagon Using Carlyle Circle.gif|thumb|Fig. 9: Costruzione del Pentagono Regolare con il Cerchio di Carlyle]]
 
È noto che i vertici di un pentagono regolare, inscritto in un cerchio di raggio unitario, possono essere determinati risolvendo l'[[equazione ciclotomica]]
 
::<math>z^5 \ = \ 1,</math>
 
le cui radici sono date dall'espressione
 
::<math>\xi^n \ = \ e^{2\pi i\frac{n}{5}},</math>
 
per ''n'' compreso fra 0 e 4. Dato che l'equazione ciclotomica non ha termini di grado 1, sommando tutte le soluzioni si ottiene 0. Pertanto, se dal totale togliamo ξ<sup>0</sup>=1, la somma delle rimanenti radici è -1. Inoltre, dalla [[formula di Eulero]] segue che:
 
::<math>V \ = \ \xi^2 \ + \ \xi^3 \ = \ 2 \ \cos \frac{ 4\pi}{5}</math>
 
::<math>W \ = \ \xi^1 \ + \ \xi^4 \ = 2 \ \cos \frac{ 2\pi}{5}</math>
 
da cui si possono ricavare le seguenti relazioni:
 
::<math>s \ = \ V \ + \ W \ = \ -1</math>
 
::<math>p \ = \ V \ \cdot \ W \ = \ -1</math>
 
Queste espressioni danno luogo a un'equazione di secondo grado, che può facilmente essere risolta tramite un [[Cerchiocerchio di Carlyle]]:
 
* Si trovano i punti A e B di coordinate (0,1) e (''s'', ''p'').