Geometria differenziale delle curve: differenze tra le versioni

Una ''curva'' è una [[funzione continua]] <math> f:\colon I\to \mathbb R^n </math>, dove <math>I</math> è un [[intervallo (matematica)|intervallo]] dei [[numeri reali]], come ad esempio <math> [0, 1] </math>. La variabile in questo intervallo in genere si denota con la lettera <math>t</math> e per la funzione si usa spesso la notazione <math>f(t)</math>. In questa voce, supporremmo che <math> f </math> sia una [[funzione differenziabile]] sufficientemente regolare, ovvero una funzione che abbia derivate continue di un ordine sufficientemente alto; si chiede inoltre che la sua derivata prima <math> f'(t) </math> sia un vettore mai nullo su tutto l'intervallo <math>I</math>.

Per ''supporto'' di <math> f </math> si intende la [[immagine (matematica)|immagine]] di tale funzione. Se <math> f </math> è [[funzione iniettiva|iniettiva]], la curva si dice ''semplice''.

Una ''riparametrizzazione'' di <math> f </math> è un'altra curva <math> g </math> tale che:

dove <math>p:\colon J \rightarrowto I</math> è una [[corrispondenza biunivoca|biiezione]] differenziabile con derivata sempre positiva (e quindi [[funzione crescente|crescente]]) e <math>J</math> è un intervallo dei reali che potrebbe coincidere con <math>I</math>. In questo caso le curve <math> f </math> e <math> g </math>, benché descritte con parametrizzazioni diverse, sono intese come equivalenti.

La ''lunghezza'' di una curva <math> f </math> definita su un intervallo chiuso <math> I = [a,b] </math> è fornita da:

si ottiene la cosiddetta ''parametrizzazione secondo la lunghezza d'arco'' <math> f_0 </math> della curva. Questa parametrizzazione, in termini cinematici, si legge come il moto di un corpo puntiforme che percorre la curva con velocità costante pariuguale a <math>1</math>:

Questa parametrizzazione della curva è l'unica che presenta la velocità costantemente uguale ad <math>1</math>. Benché sia spesso difficile da calcolare, essa è utile per dimostrare agevolmente alcuni teoremi.

Un ''sistema di Frenet'' è un [[sistema di riferimento]] mobile di <math> n </math> [[base ortonormale|vettori ortonormali]] <math> e_1(t), \ldots, e_n(t)\,\! </math> dipendenti da <math> t </math>, utili per descrivere il comportamento locale della curva in <math> f(t) </math>.

Nel piano, il primo vettore di Frenet <math> e_1(t) </math> è la ''tangente'' alla curva al valore <math> t </math> del parametro, mentre il vettore <math> e_2(t) </math>, detto ''vettore normale'' è il vettore normale a <math> e_1(t) </math>, nella direzione in cui curva. La ''curvatura'':

è chiamato ''raggio di curvatura''. Ad esempio, una [[circonferenza]] di raggio <math> r </math> ha curvatura costante <math> 1/r </math>, mentre una linea retta ha curvatura nulla.

Il ''cerchio osculatore'' è il cerchio tangente a <math> e_1(t) </math> e di raggio <math> 1/\kappa </math>. Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al valore <math> t </math> del parametro "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di <math> f </math> nel punto.

Il primo vettore di Frenet <math> e_1 </math> è il ''vettore tangente'', definito quindi come:

:<math>\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ f'(t) }{ | f'(t) |}</math>

Se <math> f </math> è parametrizzato secondo la lunghezza d'arco, questo si riduce semplicemente a

:<math>\mathbf{e}_2(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(t)} {| \overline{\mathbf{e}_2}(t) |}

I vettori tangente e normale [[span lineare|generano]] un piano, chiamato ''[[piano osculatore]]'' della curva al punto <math> t </math>.

La prima curvatura generalizzata χ<submath>1\chi_1(t)</submath>(''t'') è chiamata semplicemente ''curvatura'' di <math> f </math> in <math> t </math>, ed è data da

:<math>\kappa(t) = \chi_1(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_1'(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle}{| f^'(t) |}</math>

è il ''raggio di curvatura'' nel punto <math> t </math>.

Il ''vettore binormale'' è il terzo vettore di Frenet <math> e_3(t) </math>: è ortogonale al piano osculatore, definito con il [[prodotto vettoriale]] semplicemente come:

La seconda curvatura generalizzata χ<sub>2</submath>\chi_2(''t'')</math> è chiamata ''torsione'' e misura quanto la curva esce dal piano osculatore. Quindi una curva ha torsione nulla se e solo se è una [[curva piana]].

:<math>\tau(t) = \chi_2(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_2'(t), \mathbf{e}_3(t) \rangle}{| f'(t) |}</math>

Le formule di Frenet-Serret sono delle [[equazione differenziale ordinaria|equazioni differenziali ordinarie]] del I ordine, la cui soluzione è il sistema di Frenet che descrive la curva. I coefficienti dell'equazione differenziale sono dati dalle curvature generalizzate χ<submath>''i''\chi_i</submath>.

Le curvature determinano la curva. Formalmente, date <math> n </math> funzioni:

:<math>\chi_i:\colon [a,b] \to \mathbb R^n, \ i= 1,\ldots,n</math>