Funzione di trasferimento: differenze tra le versioni

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===Equazioni differenziali===
Data un'equazione differenziale della forma:
Nel formalismo delle equazioni differenziali, un altro modo per descrivere l'uscita <math>y</math> del sistema, dato una forzante <math>r</math>, è considerare l'[[equazione differenziale lineare]] a coefficienti costanti:
 
:<math> L[y] = \frac{d^n y}{dt^n}(y) + a_1\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}}(y) + \dotsb + a_{n-1}\frac{d y}{dt}(y) + a_n y = r\frac{d^{m} }{dt^m}(tx) + b_1\frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}(x) + \dotsb + b_{m-1}\frac{d }{dt}(x) + b_{m-1} x </math>
 
si ha che nel dominio della [[trasformata di Laplace]] la differenziazione corrisponde alla moltiplicazione per la variabile <math>s</math>:
con <math>y(t)</math> ed <math>r(t)</math> [[funzione liscia|funzioni lisce]]. Una tale equazione descrive come l'uscita sia vincolata da <math>r(t)</math>, e la funzione di trasferimento <math>F[r] = y </math> è l'inversa di <math>L</math>, essendo che <math>L[F[r]] = r</math>. Per ottenere le soluzioni dell'equazione omogenea <math>L[y] = 0</math> si pone <math>y = e^{\lambda t}</math>, in modo che sostituendo si ottiene il [[polinomio caratteristico]]:
 
:<math> p_L(\lambda) = \lambdas^n y + a_1\lambda s^{n-1}y + \dotsb + a_{n-1}\lambda s y + a_n y = s^{m} x + b_1 s^{m-1} x + \,dotsb + b_{m-1} s x + b_{m} x</math>
 
L'equazionePer nonottenere omogeneala puòfunzione esseredi risoltatrasferimento, agevolmente quandose l'ingresso è della forma <math>r(t)x = e^{s tst}</math>. Infatti,l'uscita sostituendodi <math>yun =sistema H(s)e^{slineare t}</math>ha sila ha cheforma <math>L[H(s)y e^{s= t}] =y_0 e^{s tst}</math>. seSostituendo esi solo seha:
 
:<math>H (s)^n =+ \fraca_1 s^{n-1}{p_L(s + \dotsb + a_n )y_0 e^{st} \qquad= p_L(s)^m + b_1 s^{m-1} + \neqdotsb 0+ b_{m}) e^{st}</math>
 
da cui si ottiene:
 
:<math> y= y_0 e^{st} = \frac{b(s)}{a(s)}e^{st} = H(s)x(t)</math>
 
dove:
 
:<math> a(s)= s^n + a_1 s^{n-1} + \dotsb + a_{n-1}s + a_n \qquad b(s) = s^m + b_1 s^{m-1} + \dotsb + b_{m-1}s + b_{m}</math>
 
sono i polinomi caratteristici dell'equazione.
 
==Analisi in frequenza==