Funzione di trasferimento: differenze tra le versioni

Si consideri una funzione <math>u : \R \to \R^n</math> che rappresenta l'ingresso ed una funzione <math>y : \R \to \R^m</math> che rappresenta l'uscita del sistema. Dette <math>U</math> e <math>Y</math> le [[trasformata di Laplace|trasformate di Laplace]] di <math>u</math> e <math>y</math>, la funzione di trasferimento è la funzione <math>H</math> data dal rapporto:<ref>[http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=5394 PlanetMath - Transfer function]</ref>

:<math>\frac{d^n }{dt^n}(y) + a_1\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}(y) + \dotsb + a_{n-1}\frac{d }{dt}(y) + a_n y = \frac{d^{m} }{dt^m}(xu) + b_1\frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}(xu) + \dotsb + b_{m-1}\frac{d }{dt}(xu) + b_{m-1} xu </math>

:<math> s^n y + a_1 s^{n-1}y + \dotsb + a_{n-1} s y + a_n y = s^{m} xu + b_1 s^{m-1} xu + \dotsb + b_{m-1} s xu + b_{m} xu</math>

Per ottenere la funzione di trasferimento, se l'ingresso è <math>xu = e^{st}</math> l'uscita di un sistema lineare ha la forma <math>y = y_0 e^{st}</math>. Sostituendo si ha:

:<math> y= y_0 e^{st} = \frac{b(s)}{a(s)}e^{st} = H(s)xu(t)</math>