Versione delle 09:54, 3 dic 2014 modifica 94.36.89.9 (discussione) →‎specificazione nella seconda proprietà Etichetta: Modifica visuale ← Differenza precedente		Versione delle 12:18, 3 dic 2014 modifica annulla Mat4free (discussione \| contributi) Utenti autoverificati 7 223 modifiche mNessun oggetto della modifica Differenza successiva →
Riga 13: ==La condizione di Lipschitz== ===Spazi normati=== Una funzione <math>\mathbf{f}:\colon \Omega \subseteq \R^n \rightarrow \R^m</math> si dice lipschitziana su <math>\Omega </math> se esiste una costante <math>~~\exists~~ K \ge 0 </math> tale che: :<math>\left \\| \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) \right \\| \le K \left \\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right \\| \qquad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \Omega .</math> ===Spazi metrici=== Dati due spazi metrici <math>(X_1,d_1)</math> e <math>(X_2,d_2)</math>. ~~una~~Una funzione <math>f:\colon X_1\to X_2</math> soddisfa la condizione di Lipschitz se esiste una costante <math>K>0</math> tale che, per ogni scelta di due punti <math>x,y</math> in <math>X_1</math> si abbia:<ref>{{Cita\|P. M. Soardi\|p.198}}</ref> :<math>d_2(f(x),f(y))\leq K d_1(x,y).</math> == Proprietà == * Una funzione derivabile <math>f:\colon I\to \~~mathbb{~~R}</math>, con <math>I</math> intervallo di <math>\~~mathbb{~~R}</math>, è lipschitziana se e solo se la sua [[derivata]] prima è limitata. In questo caso, la costante di ~~lipschitz~~Lipschitz è <math>K = \sup \|f'(x)\|</math>. * Se una funzione <math>f:\colon U\subset \~~mathbb{~~R}^n \to \~~mathbb{~~R}^m</math> è lipschitziana e differenziabile, allora esiste una costante <math>K</math> tale per cui la jacobiana soddisfi: <math>\\|J_f(x)\\|\leq K \quad \forall x\in U</math>. * Il [[rapporto incrementale]] di una funzione lipschitziana è limitato. * Se una [[funzione (matematica)\|funzione]] è lipschitziana, è anche [[funzione continua\|continua]], ma non è detto che sia [[funzione derivabile\|derivabile]]. * Se vale la condizione più forte: esiste una costante <math>K \geq 1 </math> tale che :<math>\exists K \geq 1 </math> tale che <math> \frac{1}{K}\\|x_1-x_2\\| \le \\|f(x_1)- f(x_2)\\| \le K \\|x_1- x_2\\|</math><br/>allora la funzione si dice ''bilipschitziana''. Una funzione bilipschitziana è un [[omeomorfismo]] sull'[[immagine (matematica)\|immagine]] e quindi in particolare [[funzione iniettiva\|iniettiva]].▼ :<math> \frac{1}{K}\\|x_1-x_2\\| \le \\|f(x_1)- f(x_2)\\| \le K \\|x_1- x_2\\|,</math> * La lipschitzianità ha un'importanza immediata nell'ambito delle [[equazioni differenziali]] ordinarie, perché rientra nelle ipotesi del [[Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy]].▼ ▲~~:<math>\exists K \geq 1 </math> tale che <math> \frac{1}{K}\\|x_1-x_2\\| \le \\|f(x_1)- f(x_2)\\| \le K \\|x_1- x_2\\|</math><br/>~~allora la funzione si dice ''bilipschitziana''. Una funzione bilipschitziana è un [[omeomorfismo]] sull'[[immagine (matematica)\|immagine]] e quindi in particolare [[funzione iniettiva\|iniettiva]]. ▲* La lipschitzianità ha un'importanza immediata nell'ambito delle [[equazioni differenziali]] ordinarie, perché rientra nelle ipotesi del [[~~Teorema~~teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy]]. * Una funzione lipschitziana è [[Continuità uniforme\|uniformemente continua]] (il che a sua volta implica <math>f</math> [[funzione continua\|continua]]). Queste due implicazioni si visualizzano meglio confrontando le seguenti definizioni dei tre tipi di continuità: ** Continuità semplice: <math> \forall x \forall \varepsilon\ \exists \delta\ : \left \| f \left ( x \right ) - f \left ( x + \delta\ \right) \right \| <\varepsilon\ </math>.

Funzione lipschitziana: differenze tra le versioni