Ideale primo: differenze tra le versioni
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modificato solo un piccolissimo aspetto della definizione e ho corretto nella propriet' aggiungendo commutativo, visto che fino a quel momento la definizione veniva data solo in un anello commutativo |
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Se ''A'' è un anello, allora si dice che l'ideale ''P'' di ''A'' è ''primo'' se ha le seguenti proprietà:
* ''P''
* Se ''a'' e ''b'' sono due elementi di ''A'' tali che il loro prodotto ''ab'' è un elemento di ''P'', allora almeno uno dei due è un elemento di ''P''.<ref>{{Cita|Bosch, S.|p. 35|bosch}}</ref>
Questa è una generalizzazione della seguente proprietà per i [[numeri primi]]:
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* Un ideale ''I'' dell'anello commutativo ''A'' è primo se e solo se l'[[anello quoziente]] ''A/I'' è un [[dominio di integrità]].
* Un ideale ''I'' di un anello ''A'' è primo se e solo se ''A'' \ ''I'' ([[differenza (insiemistica)|differenza insiemistica]]) è chiuso rispetto alla moltiplicazione.
* Ogni anello commutativo unitario (che non sia costituito dal solo {0}) contiene almeno un ideale primo. Infatti in un anello commutativo unitario ogni ideale massimale è anche un ideale primo e per il [[lemma di Krull]] ogni anello unitario ha almeno un ideale massimale.
* Un anello commutativo è un [[dominio di integrità]] se e solo se {0} è un ideale primo.
* Un anello commutativo è un [[campo (matematica)|campo]] se e solo se {0} è il suo unico ideale primo, o equivalentemente se e solo se esso è un ideale massimale.
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