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Funzioni ellittiche di Weierstrass: differenze tra le versioni

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== Definizioni==
[[Immagine:Weierstrass elliptic function P.png|thumb|Funzione P di Weierstrass definita sopra un sottoinsieme del piano complesso visualizzata con una tecnica standard secondo la quale il bianco corrisponde a un polo, il nero a uno zero e la massima [[saturazione (teoria del colore)|saturazione]] a <math>\left|f(z)\right|=\left|f(x+iy)\right|=1\;.</math> Si noti il reticolo regolare dei poli e i due reticoli interfogliati degli zeri.]]
Come '''funzione ellittica di Weierstrass''' si possono definire tre funzioni strettamente collegate, ciascuna delle quali possiede certi vantaggi. Si tratta di tre funzioni con diversi elenchi di argomenti per le quali usiamosi usa lo stesso simbolo, in quanto le differenze relative agli argomenti risultano piuttosto evidenti. La prima funzione ha come argomenti una variabile complessa <math>z</math> e un [[reticolo]] <math>\Lambda</math> nel piano complesso. La seconda ha come argomenti <math>z</math> e due numeri complessi <math>\omega_1</math> e <math>\omega_2</math> i quali costituiscono un doppietto di generatori, o periodi, per il reticolo. La terza ha come argomenti <math>z</math> e un modulo <math>\tau</math>, elemento del [[semipiano superiore]]. Questo parametro si collega agli argomenti della seconda funzione con la relazione <math>\tau = \omega_2/\omega_1</math>, qualora si assuma che i due periodi appartengano al semipiano superiore. Le funzioni del terzo tipo, fissando un valore per la <math>z</math>, diventano le [[funzione modulare|funzioni modulari]] di <math>\tau</math>.
 
Come funzione avente come argomenti i due periodi <math>\omega_1</math> e <math>\omega_2</math> , la '''funzione ellittica di Weierstrass''' è definita come :
 
:<math>
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\frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2}
\right\}
</math> .
 
Si definiscono allora il '''[[reticolo periodico]]''' <math>\Lambda := \{m\omega_1+n\omega_2 : m,n \in \mathbb{Z}\}</math> e la funzione di Weierstrass di una variabile complessa e del reticolo come :
:<math>\wp(z;\Lambda) := \wp(z;\omega_1,\omega_2)</math> .▼
 
▲:<math>\wp(z;\Lambda) := \wp(z;\omega_1,\omega_2)</math> .
Se <math>\tau</math> denota un generico numero complesso del semipiano superiore, si pone ▼
:<math>\wp(z;\tau) := \wp(z;1,\tau) =\frac{1}{z^2} + \sum_{n^2+m^2 \ne 0}{1 \over (z-n-m\tau)^2} - {1 \over (n+m\tau)^2}</math> .▼
 
▲Se <math>\tau</math> denota un generico numero complesso del semipiano superiore, si pone :
La precedente espressione è omogenea di grado -2 e questo consente di definire la funzione di Weierstrass <math>\wp</math> avente come argomenti due periodi generici, come ▼
:<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2) := ▼
\wp(z/\omega_1; \omega_2/\omega_1)/\omega_1^2</math> .
 
▲:<math>\wp(z;\tau) := \wp(z;1,\tau) =\frac{1}{z^2} + \sum_{n^2+m^2 \ne 0}{1 \over (z-n-m\tau)^2} - {1 \over (n+m\tau)^2}</math> .
si può calcolare <math>\wp</math> molto rapidamente in termini di [[funzioni theta]]; perché queste convergono molto rapidamente, questa è una via molto più rapida per calcolare▼
 
<math>\wp</math> rispetto alle serie usate per definirla. La formula è
▲La precedente espressione è omogenea di grado -2 e questo consente di definire la funzione di Weierstrass <math>\wp</math> avente come argomenti due periodi generici, come :
 
▲:<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2) := \wp(z/\omega_1; \omega_2/\omega_1)/\omega_1^2</math>
 
▲si può calcolare <math>\wp</math> molto rapidamente in termini di [[funzioni theta]]; perché queste convergono molto rapidamente, questa è una via molto più rapida per calcolare <math>\wp</math> rispetto alle serie usate per definirla. La formula è:
 
:<math>\wp(z; \tau) = \pi^2 \vartheta^2(0;\tau) \vartheta_{10}^2(0;\tau){\vartheta_{01}^2(z;\tau) \over \vartheta_{11}^2(z;\tau)} + e_2(\tau)</math>
 
dove:
:<math>e_2(\tau) = -{\pi^2 \over {3}}(\vartheta^4(0;\tau) + \vartheta_{10}^4(0;\tau))</math>.▼
 
▲:<math>e_2(\tau) = -{\pi^2 \over {3}}(\vartheta^4(0;\tau) + \vartheta_{10}^4(0;\tau))</math>.
 
C'è un [[polo (analisi complessa)|polo]] del secondo ordine ad ogni punto del reticolo (inclusa l'origine). Con queste definizioni, <math>\wp(z)</math> è una funzione pari e la sua derivata rispetto a <math>z</math>, <math>\wp'</math>, dispari.
 
== Equazione differenziale ==
Con questa notazione, la funzione <math>\wp</math> soddisfa la seguente [[equazione differenziale]]:
:<math>
[\wp'(z)]^2=4[\wp(z)]^3-g_2\wp(z)-g_3,</math>▼
nella quale si elimina la dipendenza da <math>\omega_1</math> e <math>\omega_2</math>.▼
 
▲:<math>[\wp'(z)]^2=4[\wp(z)]^3-g_2\wp(z)-g_3,</math>
 
▲nella quale si elimina la dipendenza da <math>\omega_1</math> e <math>\omega_2</math>.
 
== Bibliografia ==
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* {{en}} [[Tom M. Apostol]], ''Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition'' (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 ''(Vedi chapter 1)''
* {{en}} Naum Illyich Akhiezer (1990): ''Elements of the Theory of Elliptic Functions'', ''AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79'', AMS, Rhode Island, ISBN 0-8218-4532-2. Traduzione in inglese del testo in russo pubblicato a Mosca nel 1970.
 
 
== Voci correlate ==
* [[Curva ellittica]]▼
* [[Funzione ellittica]]
* [[Funzioni ellittiche di Jacobi]]
 
▲* [[Curva ellittica]]
==Collegamenti esterni==
*{{springerEOM|titolo=Weierstrass elliptic functions|autore=E.D. Solomentsev }}
 
{{funzioni speciali}}
{{Portale|matematica}}▼
 
[[Categoria:Curve algebriche]]
[[Categoria:Funzioni speciali]]
<!--[[Categoria:Funzioni ellittiche]]-->
<!--[[Categoria:Forme modulari]]-->
 
 
▲{{Portale|matematica}}
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_ellittiche_di_Weierstrass"