Funzioni ellittiche di Jacobi: differenze tra le versioni
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L'angolo <math>\phi</math> è detto ''ampiezza''.
==Definizione con funzioni theta==
Le funzioni ellittiche di Jacobi si possono anche definire tramite le [[funzioni theta|funzioni theta di Jacobi]]. Abbreviando con <math>\vartheta</math> la funzione <math>\vartheta(0;\tau)</math>, e allo stesso modo scrivendo <math>\vartheta_{01}, \vartheta_{10}, \vartheta_{11}</math> al posto di <math>\vartheta_{01}(0;\tau), \vartheta_{10}(0;\tau), \vartheta_{11}(0;\tau)</math> rispettivamente, il [[modulo ellittico]] è:
:<math>k=\left({\vartheta_{10} \over \vartheta}\right)^2</math>
Ponendo <math>u = \pi \vartheta^2 z</math> si ha:
:<math>\mbox{sn}(u; k) = -{\vartheta \vartheta_{11}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}</math>
:<math>\mbox{cn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta_{10}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}</math>
:<math>\mbox{dn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta(z;\tau) \over \vartheta \vartheta_{01}(z;\tau)}</math>
Le funzioni di Jacobi sono definite mediante il modulo ellittico <math>k(\tau)</math>, quindi si deve invertire la sua espressione e trovare <math>\tau</math> in funzione di <math>k</math>. Partendo dal modulo complementare <math>k' = \sqrt{1-k^2}</math>, come funzione di <math>\tau</math> esso ha la forma:
:<math>k'(\tau) = \left({\vartheta_{01} \over \vartheta}\right)^2</math>
Sia:
:<math>\ell = {1 \over 2} {1-\sqrt{k'} \over 1+\sqrt{k'}} = {1 \over 2} {\vartheta - \vartheta_{01} \over \vartheta + \vartheta_{01}}</math>
Definendo <math>q = \exp (\pi i \tau)</math> ed espandendo <math>\ell</math> come [[serie di potenze]] nella variabile <math>q</math>, si ha:
:<math>\ell = {q + q^9 + q^{25} + \cdots \over 1 + 2q^4 + 2q^{16} + \cdots}</math>
[[teorema di inversione di Lagrange|Invertendo]] la serie si ha:
:<math>q = \ell + 2\ell^5 + 15\ell^9 + 150\ell^{13} + 1707\ell^{17} + 20910\ell^{21} + 268616\ell^{25} + \cdots</math>
Dal momento che ci si può ricondurre al caso in cui <math>\Im[\tau] \ge 1/2 \sqrt 3</math>, si può assumere che <math>|q| \ge e^{-1/2 \sqrt 3 \pi}\tilde 0.0658</math>.
== Bibliografia ==
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