Autovettore e autovalore: differenze tra le versioni
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=== 2° esempio ===
[[File:Eigenvectors.gif|right|frame| Trasformazione operata dalla matrice <math>\scriptstyle A=\bigl[ \begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{smallmatrix} \bigr]</math>: si noti come il quadrato iniziale a seguito della trasformazione si deformi diventando un rombo allungato. I vettori blu hanno la stessa direzione dell'autovettore <math>\scriptstyle v_1=\bigl[ \begin{smallmatrix} 1 \\1 \end{smallmatrix} \bigr]</math> (ricordiamoci che i vettori di cui parliamo non sono vettori applicati e quindi si possono immaginare applicati ovunque) mentre i vettori viola hanno la stessa direzione dell'autovettore <math>\scriptstyle v_2=\bigl[ \begin{smallmatrix} 1 \\-1 \end{smallmatrix} \bigr]</math>: essi quindi conservano la loro direzione nella trasformazione operata da A. Si noti anche come i vettori blu triplichino il loro modulo avendo
Per la matrice di trasformazione
:<math>A = \begin{bmatrix} 3 & 1\\1 & 3 \end{bmatrix},</math>
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Per contro il vettore
:<math>v = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}</math>
non è un autovettore in quanto il vettore trasformato è
:<math>\begin{bmatrix} 3 & 1\\1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}</math>
e, come si nota facilmente, manca la proporzionalità tra il vettore trasformato <math>\bigl[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\bigr]</math> e il vettore originale <math> \bigl[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\bigr]</math>, condizione necessaria per il parallelismo.
=== 3° esempio ===
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è facile verificare che i vettori
:<math>v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \qquad v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}</math>
sono autovettori con autovalori
La figura a fianco illustra come cambia nel primo quadrante lo spazio bidimensionale a seguito della trasformazione operata dalla matrice A=<math>\bigl[ \begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{smallmatrix} \bigr]</math> e come i vettori blu che hanno la stessa direzione del vettore <math>v_1=\bigl[ \begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix} \bigr]</math> e i vettori viola che hanno la stessa direzione del vettore <math>v_2=\bigl[ \begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix} \bigr]</math> conservino la loro direzione anche dopo la trasformazione a differenza dei vettori in rosso che non hanno né la direzione di <math>v_1</math> né quella di <math>v_2</math>.
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