Differenze tra le versioni di "Numero primo di Sophie Germain"

fonto, amplio, sposto una delle due dimostrazioni in discussione
(fonto, amplio, sposto una delle due dimostrazioni in discussione)
Un '''numero primo di [[Sophie Germain]]''' è un [[numero primo]] ''<math>p''</math> tale che 2''p'' <math>2p+ 1</math> siaè anch'esso un numero primo. Il numero 2''p'' <math>2p+ 1</math> è invece chiamato [[numero primo sicuro|primo sicuro]]. Prenono nome dalla matematica francese [[Sophie Germain]], che all'inizio del [[XIX secolo]] li usò per dimostrare un caso particolare dell'[[ultimo teorema di Fermat]].
{{F|matematica|aprile 2012}}
Un '''numero primo di [[Sophie Germain]]''' è un [[numero primo]] ''p'' tale che 2''p'' + 1 sia anch'esso un numero primo. Il numero 2''p'' + 1 è invece chiamato [[numero primo sicuro|primo sicuro]].
 
== Prime proprietà ==
==Numeri==
I numeri primi di Sophie Germain minori di 10<sup>4</sup> sono:
 
[[Due|2]], [[Tre|3]], [[Cinque|5]], [[Undici|11]], [[Ventitré|23]], [[Ventinove|29]], [[Quarantuno|41]], [[Cinquantatré|53]], [[Ottantatré|83]], [[Ottantanove|89]], [[Centotredici|113]], [[131_(numero)|131]], 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559, 1583, 1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003, 2039, 2063, 2069, 2129, 2141, 2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459, 2543, 2549, 2693, 2699, 2741, 2753, 2819, 2903, 2939, 2963, 2969, 3023, 3299, 3329, 3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, 3761, 3779, 3803, 3821, 3851, 3863, 3911, 4019, 4073, 4211, 4271, 4349, 4373, 4391, 4409, 4481, 4733, 4793, 4871, 4919, 4943, 5003, 5039, 5051, 5081, 5171, 5231, 5279, 5303, 5333, 5399, 5441, 5501, 5639, 5711, 5741, 5849, 5903, 6053, 6101, 6113, 6131, 6173, 6263, 6269, 6323, 6329, 6449, 6491, 6521, 6551, 6563, 6581, 6761, 6899, 6983, 7043, 7079, 7103, 7121, 7151, 7193, 7211, 7349, 7433, 7541, 7643, 7649, 7691, 7823, 7841, 7883, 7901, 8069, 8093, 8111, 8243, 8273, 8513, 8663, 8693, 8741, 8951, 8969, 9029, 9059, 9221, 9293, 9371, 9419, 9473, 9479, 9539, 9629, 9689, 9791.
 
IlA gennaio 2015, il più grande primo di Sophie Germain conosciuto è <math>18543637900515 ·\cdot 2<sup>^{666668}-1</supmath>, -un 1numero di (200701 cifre decimali, scoperto nell'aprile 2012 attraverso il progetto di [[2012calcolo distribuito]] da[[PrimeGrid]].<ref Philippname=primepages>{{cita Bliedung)web|autore=Chris Caldwell|url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?sort=SophieGermain|titolo=Sophie Germain (p)|opera=The Prime Pages|accesso=19 gennaio 2015|lingua=en}}</ref>
 
I numeri primi di Sophie Germain devono soddisfare diverse restrizioni [[aritmetica modulare|modulari]]: ad esempio, se <math>p</math> è congruo ad 1 modulo 3, allora <math>2p+1\equiv 0\bmod 3</math>, ovvero 2 divide <math>2p+1</math>. Di conseguenza, ogni numero primo di Sophie Germain (ad eccezione di 3) sono congrui a 2 modulo 3. Partendo da un qualsiasi primo <math>q</math> al posto di 3, è possibile con lo stesso ragionamento eliminare una classe di resto modulo <math>q</math>: ad esempio, se <math>p</math> è congruo a 2 modulo 5 (e diverso da 2) allora non è un primo di Sophie Germain.
Non si sa se vi siano infiniti numeri primi di Sophie Germain, ma il numero di numeri primi di Sophie Germain minori di un dato numero ''n'' può essere stimato euristicamente con la formula <math>2C_2 n /(\ln n)^2</math>, dove la ''C''<sub>2</sub> corrisponde alla [[congettura dei numeri primi gemelli|costante dei numeri primi gemelli]].
 
I primi di Sophie Germain sono collegati con i [[numero primo di Mersenne|primi di Mersenne]]. Se[[Eulero]] dimostrò che, se un primo di Sophie Germain è della forma ''<math>p'' = 4''k'' 4k- 1</math>, allora <math>p</math> divide <math>2^p - 1</math>, che quindi non è un numero primo.
 
== Distribuzione ==
I primi di Sophie Germain sono inoltre collegati con l'[[ultimo teorema di Fermat]]. Se ''p'' è un primo di Sophie Germain, non ci sono tre numeri interi tali che ''2p+1'' non divide il prodotto ''xyz'' e che
Non è noto se vi siano infiniti numeri primi di Sophie Germain. Usando tecniche di [[teoria dei crivelli|crivello]], si pulò [[congettura|congetturare]] che il numero di primi di Sopieh Germain minori di <math>n</math> sia [[Stima asintotica|asintotico]] a
:<math>2C_2 \frac{n}{(\ln n)^2}</math>
dove (<math>p</math> varia tra i numeri primi)
:<math>C_2=\prod_{p>2} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2}\approx 0,660161</math>
è la [[congettura dei numeri primi gemelli|costante dei numeri primi gemelli]].
 
e== perRelazione ilcon [[piccolol'ultimo teorema di Fermat]] ==
<math>x^p + y^p = z^p</math>
Attorno al 1825, [[Sophie Germain]] dimostrò che, se <math>p</math> e <math>q</math> sono due numeri primi tali che
#<math>p</math> non è una <math>p</math>-esima potenza [[aritmetica modulare|modulo]] <math>q</math>, e
#se <math>x,y,z</math> sono numeri interi, <math>x^p+y^p+z^p\equiv 0\bmod q</math> implica che <math>q</math> divide <math>x</math>, <math>y</math> o <math>z</math>,
allora il "primo caso" dell'[[ultimo teorema di Fermat]] vale per <math>p</math>, ovvero se <math>x^p+y^p+z^p=0</math>, allora <math>p</math> divide almeno uno tra <math>x</math>, <math>y</math> e <math>z</math>.
 
In particolare, se <math>q=2p+1</math>, allora la prima condizione è sempre soddisfatta (purché <math>p>3</math>) grazie al [[piccolo teorema di Fermat]] (in quanto <math>a^p</math> può essere congruo solo a <math>1</math> o a <math>-1</math> modulo <math>q</math>. Allo stesso modo, <math>x^p</math>, <math>y^p</math> e <math>z^p</math> sono uguali a <math>1</math> o a <math>-1</math> modulo <math>q</math>; di conseguenza,
==Dimostrazione==
Sia :<math> q = 2p x^p+ 1 </math>. Allora <math> y^p = +z^p\equiv(q - 1)/2^a+(-1)^b+(-1)^c\bmod q</math> e
(per interi <math>a,b,c</math>) e questo può avvenire solo se <math>q=3</math>. Questo argomento, inoltre, può essere usato indipendentemente dal teorema generale per dimostrare direttamente il primo caso quando <math>p</math> è un primo di Sophie Germain.
:<math>x^p + y^p - z^p = 0</math>
implica <math> +(-1)+(-1)+(-1) = 0 </math> ([[aritmetica modulare|mod]] q), che è impossibile poiché ''q > 3''.
 
==Dimostrazione 2==
 
Sia <math>p</math> un primo di Sophie Germain, cioè <math>2p+1=p'</math> è un numero primo, per assurdo esistano tre numeri ''x,y,z'' tali che ''2p+1'' non divide ''xyz'' e che
 
:<math>x^p + y^p = z^p</math>
 
elevando al quadrato entrambi i membri della prima equazione si ricava
 
:<math>(x^p + y^p)^2 = z^{2p}=z^{p'-1}</math>
 
e per il [[piccolo teorema di Fermat]]
 
:<math>(x^p + y^p)^2 = 1</math> mod p'
 
da cui
:<math>x^{2p}+2x^py^p + y^{2p} = 1</math> mod p'
:<math>x^{p'-1}+2x^py^p + y^{p'-1} = 1</math> mod p'
:<math>2x^py^p = -1</math> mod p'
 
In modo analogo si ricava che
 
:<math>2x^pz^p = 1</math> mod p'
:<math>2y^pz^p = 1</math> mod p'
 
quindi
 
:<math>2x^py^p +2x^pz^p =0</math> mod p'
:<math>2x^py^p +2y^pz^p = 0</math> mod p'
 
e
 
:<math>2x^p(y^p +z^p) =0</math> mod p'
:<math>2y^p(x^p +z^p) = 0</math> mod p'
 
Ricordando che ''p''' non divide né ''x'' né ''y'' né ''z'' allora
 
:<math>x^p+y^p+2z^p = 0</math> mod p'
:<math>3z^p = 0</math> mod p'
 
ma ciò è impossibile poiché ''p''' dovrebbe dividere ''z''.
 
Varianti di questo ragionamento portarono poi [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] a dimostrare che <math>p</math> verifica il primo caso dell'ultimo teorema di Fermat nel caso in cui uno tra <math>4p+1</math>, <math>8p+1</math>, <math>10p+1</math>, <math>14p+1</math> e <math>16p+1</math> sia un numero primo.
 
== Note ==
 
== Bibliografia ==
* {{cita libro | autore = [[Paulo Ribenboim]] | titolo = 13 Lectures on Fermat's Last Theorem| anno = 1979 | editore = Springer-Verlag | cittàn = New York | isbn = 978-0-387-90432-0 | capitolo=Lecture IV - The Naïve Approach}}
{{...}}
*{{cita libro|titolo=A Computational Introduction to Number Theory and Algebra|autore=Victor Shoup|editore=Cambridge University Press|anno=2009|isbn=9780521516440|capitolo=5.5.5 - Sophie Germain primes|pagine=123–124|url=http://books.google.com/books?id=pWFdMf5hb5oC&pg=PA123}}
 
==Collegamenti esterni==
*{{cita web|autore=Chris Caldwell|url=http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=SophieGermainPrime|titolo=Sophie Germain prime|opera=The Prime Pages|accesso=19 gennaio 2015|lingua=en}}
*{{cita web|autore=Chris Caldwell|url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?sort=SophieGermain|titolo=Sophie Germain (p)|opera=The Prime Pages|accesso=19 gennaio 2015|lingua=en}}
*{{OEIS|A005384}}
 
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