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Riga 1: ~~{{F\|matematica\|febbraio 2012}}~~ In [[matematica]], e più precisamente in [[algebra]], un '''omomorfismo di gruppi''' è un tipo di [[funzione (matematica)\|funzione]] fra [[gruppo (matematica)\|gruppi]] che ne preserva le [[operazione binaria\|operazioni]]. Questo concetto identifica quindi quali sono le funzioni "interessanti" nella [[teoria dei gruppi]]. == Definizione == Dati due [[gruppo (matematica)\|gruppi]] <math>(''G'', \cdot)</math> e <math>(''H'', °\circ)</math>, una [[funzione (matematica)\|funzione]] ''<math>f'' : ''G~~'' →~~\longrightarrow ''H''</math> è un '''omomorfismo''' se :<math>f(a\cdot b)=f(a)\circ f(b)</math> ~~:''f''(''a'' ''b'') = ''f''(''a'') ° ''f''(''b'') per ogni ''a'' e ''b'' appartenenti a ''G''.~~ per ogni <math>a</math> e <math>b</math> appartenenti a <math>G</math>. La funzione ''<math>f''</math> è inoltre detta [[monomorfismo]] se è [[funzione iniettiva\|iniettiva]], [[epimorfismo]] se è [[funzione suriettiva\|suriettiva]] e ''[[isomorfismo]]'' se è [[corrispondenza biunivoca\|biiettiva]].▼ L'insieme degli omomorfismi da ''G'' ad ''H'' si indica con Hom(''G'', ''H'').▼ ▲La funzione ''f'' è inoltre detta [[monomorfismo]] se è [[funzione iniettiva\|iniettiva]], [[epimorfismo]] se è [[funzione suriettiva\|suriettiva]] e ''[[isomorfismo]]'' se è [[corrispondenza biunivoca\|biiettiva]]. ▲L'insieme degli omomorfismi da ''<math>G''</math> ad ''<math>H''</math> si indica con <math>\mathrm{Hom}(''G'', ''H'')</math>. == Esempi == Dati due gruppi qualsiasi ''<math>G''</math> e ''<math>H''</math>, l''''omomorfismo banale''' ''<math>f'' : ''G''\longrightarrow ~~→ ''~~H''</math> è l'omomorfismo che assegna ad ogni elemento ''<math>g''</math> di ''<math>G''</math> l'[[elemento neutro]] ~~''f''(''g'') = ''e''~~<math>e_H</math> di ''<math>H''</math>. L'identità ''<math>\mathrm{id'' }: ''G''\longrightarrow ~~→ ''~~G''</math> è un altro esempio immediato; allo stesso modo, se <math>G</math> è un [[sottogruppo]] di <math>H</math>, l'inclusione <math>i:G\longrightarrow H</math> è un omomorfismo. Il [[determinante]] di una matrice quadrata a coefficienti in un [[Campo_(matematica)\|campo]] è, grazie al [[teorema di Binet]], un esempio di omomorfismo tra il gruppo delle [[matrice quadrata\|matrici quadrate]] [[matrice invertibile\|invertibili]] con l'operazione di [[prodotto tra matrici]] e il gruppo moltiplicativo degli elementi non nulli del campo. Line 17 ⟶ 18: == Proprietà == * Dalla definizione si deduce subito che ''<math>f''</math> manda l'elemento neutro di ''<math>G''</math> nell'elemento neutro di ''<math>H''</math>. Si deduce inoltre che ''<math>f''(''a~~''<sup>~~^{-1~~</sup>~~}) = ''f''(''a'')~~<sup>~~^{-1}</~~sup~~math>. ~~Diciamo~~Di conseguenza, si ~~quindi~~può dire che ''<math>f''</math> è ''"compatibile con la struttura di gruppo''", perché preserva elementi neutri ed inversi. * Nel caso in cui ''<math>H''</math> sia un [[gruppo abeliano]], l'insieme <math>\mathrm{Hom}(''G'', ''H'')</math> può essere munito in modo naturale di una struttura di gruppo con l'operazione di moltiplicazione così definita: dati due omomorfismi ''<math>f''</math> e ''<math>g''</math>, la loro composizione ''<math>f''\ast * ''g''</math> è la funzione che manda ''<math>a''</math> in ''<math>f''(''a'')\circ * ''g''(''a'')</math>: si verifica che anche ''<math>f''\ast * ''g''</math> è un omomorfismo. Se anche <math>G</math> è abeliano, inoltre, anche <math>\mathrm{Hom}(G,H)</math> è abeliano. * Il [[nucleo (matematica)\|nucleo]] di <math>f</math> è definito come l'insieme di tutti gli elementi <math>a</math> di <math>G</math> tali che <math>f(a)</math> è l'elemento neutro di <math>H</math>. Esso è un [[sottogruppo normale]] di <math>G</math>; inoltre, ogni sottogruppo normale è il nucleo di un omomorfismo, ad esempio l'[[Gruppo quoziente\|omomorfismo quoziente]] <math>G\longrightarrow G/H</math>. * Il [[nucleo (matematica)\|nucleo]] di ''f'' è un [[sottogruppo normale]] di ''G''. * L'[[immagine (matematica)\|immagine]] di ''<math>G''</math> tramite ''<math>f''</math> è un [[sottogruppo]] di ''<math>H''</math>, non necessariamente normale. == Bibliografia == * Se ''G'' e ''H'' sono abeliani, il gruppo Hom(''G'', ''H'') è anch'esso abeliano. * {{cita libro\|nome = Michael\|cognome = Artin\| titolo = Algebra\|editore = Bollati Boringhieri\|anno = 1997\|isbn = 88-339-5586-9}} == Voci correlate == * [[~~gruppo~~Gruppo (matematica)]] * [[~~nucleo~~Nucleo (matematica)]] * [[Isomorfismo tra gruppi]]

Omomorfismo di gruppi: differenze tra le versioni