Topologia discreta: differenze tra le versioni

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Uno [[spazio topologico]] ''<math>X''</math> ha la '''topologia discreta''' quando tutti i sottoinsiemi di ''<math>X''</math> sono aperti. Le seguenti sono altre definizioni equivalenti:
* Tuttitutti i sottoinsiemi di ''<math>X''</math> sono chiusi.;
* Tuttitutti i punti di ''<math>X''</math> sono aperti.
 
La topologia discreta è la più fine fra le topologie di un insieme. All'estremo opposto troviamo la [[topologia banale]] che è la meno fine. La topologia discreta può essere considerata come la "topologia naturale" di un insieme, in cui i punti sono tutti "staccati" l'uno dall'altro.
* Assegnando ad ogni coppia di punti di un insieme la seguente distanza:
 
:<math>d(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{se }x = y, \\ 1, & \mbox{se }x \ne y,\end{cases}</math>
:<math>
 
d(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{se }x = y \\ 1, & \mbox{se }x \ne y
 
\end{cases}
</math>
otteniamo così uno [[spazio metrico]] con topologia discreta (questa metrica si chiama '''metrica discreta'''). Quindi la topologia discreta è [[spazio metrizzabile|metrizzabile]], ovvero indotta da una metrica.
* La topologia discreta soddisfa tutti gli [[assioma di separazione|assiomi di separazione]].