Triangolo scaleno: differenze tra le versioni

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In effetti la prima definizione equivale a definire i triangoli scaleni come triangoli non
[[triangolo isoscele|isosceli]]; ma questi, per il teorema noto come [[pons asinorum]], oltre a definirsi come i triangoli con almeno due lati uguali, possono definirsi come i triangoli con almeno due angoli uguali; quindi i triangoli scaleni sono esattamente i triangoli con i tre angoli diversi.
 
== Classificazione dei triangoli scaleni e classi di similitudine dei triangoli ==
 
Come per i [[triangolo isoscele|triangoli isosceli]], ogni trasformazione di similitudine trasforma un triangolo scaleno
in un altro triangolo scaleno; di conseguenza anche i triangoli isosceli si possono opportunamente
ripartire in [[classe di similitudine|classi di similitudine]].
 
I triangoli isosceli sono invarianti solo per le similitudini e il gruppo di simmetria di una
classe di similitudine di triangoli scaleni si riduce alla sola trasformazione identità.
 
Vediamo ora come si possono classificare le classi di similitudine dei triangoli scaleni.
Ciascuna classe si può rappresentare con un triangolo scaleno il cui lato maggiore ha lunghezza 1
e possiamo ricondurre il suddetto problema di classificazione al problema della parametrizzazione
di questi triangoli rappresentativi.
A questo fine consideriamo il triangolo curvilineo che ha come vertici ''A'' e ''B''
estremi del segmento ''AB'' di lunghezza 1 (che tracciamo orizzontalmente) e ''V'',
 
Il triangolo scaleno ha il circocentro.
terzo vertice del triangolo equilatero avente come lato ''AB'' posto al di sopra
dello stesso ''AB''; ''T'' è delimitato da ''AB'', dall'arco ''AV'' della circonferenza con
centro in ''B'' e raggio 1 e dall'arco ''VB'' della circonferenza con centro in ''A'' e raggio 1.
Inoltre chiamiamo ''M'' il punto medio di ''AB'', ''S'' la semicirconferenza di centro in ''M'' e raggio 1/2
posta al di sopra di ''AB'' ed ''O'' il punto di intersezione della mediana ''VM'' con la ''S''.
 
Si osserva che muovendo ''C'' all'interno e sulla frontiera di ''T'' si individuano tutte le
classi di similitudine dei triangoli.
* Se ''C''=''V'' si ha il triangolo equilatero di lato 1.
* Per ''C''=''O'' si ha il triangolo isoscele rettangolo con l'ipotenusa di lunghezza 1 e i cateti
di lunghezza <math>1/\sqrt 2</math>.
* Se ''C'' si trova tra ''M'' ed ''O'' si hanno i triangoli isosceli ottusangoli.
* I triangoli isosceli acutangoli con base più lunga dei lati uguali
si ottengono con ''C'' all'interno di ''OV''; i triangoli isosceli acutangoli con base più corta
dei lati uguali si ottengono con ''C'' all'interno dell'arco ''AV''; facendo variare ''C''
sull'arco ''BV'' si ottengono gli stessi triangoli in quanto due triangoli ''ABC''<sub>1</sub>
e ''ABC''<sub>2</sub> con ''C''<sub>1</sub> nell'arco ''AV'' e con ''C''<sub>2</sub> nell'arco ''BV''
ottenuto dal precedente per riflessione rispetto alla mediana forniscono triangoli trasformabili
l'uno nell'altro con una rotazione.
* Ogni punto ''C'' interno di ''AM'' determina un triangolo degenere ottenibile facendo tendere
un vertice ''C'' verso un punto del lato opposto ''AB''; ogni punto di ''MB'' individua una
entità equivalente a quella determinata dal punto simmetrico rispetto ad ''M''.
* I triangoli rettangoli sono individuati da ''C'' che varia sulla semicirconferenza ''S'';
due triangoli ''ABC''<sub>1</sub> e ''ABC''<sub>2</sub>, dove ancora ''C''<sub>1</sub> e
''C''<sub>2</sub> denotano due punti simmetrici rispetto alla ''MV'' individuano due
triangoli rettangoli trasformabili l'uno nell'altro solo ricorrendo a una riflessione.
* Ogni punto ''C'' dell'insieme ''D'' dei punti interni al triangolo ''T'' non appartenenti ad ''MV''
individua biunivocamente un triangolo scaleno rappresentativo di una classe di similitudine;
infatti i triangoli corrispondenti a ''C'' in ''D'' hanno lati diversi con ''AC'' e ''BC'' più corti di ''AB''.
* Consideriamo due punti ''C''<sub>1</sub> e ''C''<sub>2</sub> simmetrici rispetto alla mediana ''MV'',
il primo appartenente alla metà sinistra di ''D'', il secondo alla destra; essi determinano
due triangoli scaleni trasformabili l'uno nell'altro solo ricorrendo ad una riflessione,
in particolare con la riflessione rispetto alla ''MV''; si osserva che
il secondo di questi ''ABC''<sub>2</sub> si può anche ottenere dal primo ''ABC''<sub>1</sub>
sottoponendolo alla riflessione rispetto alla retta contenente ''AB'' e successivamente alla
rotazione di π intorno ad ''M''.
* Quando ''C'' si trova (non appartenendo alla ''MV'') al di sotto della semicirconferenza ''S'' si hanno i triangoli scaleni ottusangoli, quando si trova sulla ''S'' (diverso da ''O'') i triangoli scaleni rettangoli e quando si trova al di sopra della ''S'' i triangoli scaleni acutangoli.
 
== Voci correlate ==
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