Teorema di Banach-Caccioppoli: differenze tra le versioni
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== Il teorema ==
{{Vedi anche | Contrazione (spazio metrico) | Funzione contrattiva}}
Sia <math>(X,d)</math> uno [[spazio metrico]]. Si definisce contrazione una [[funzione (matematica)|funzione]] <math> f
:<math>d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y) \quad \forall x,y \in X.</math>
Il più piccolo valore di <math>k</math> per cui vale tale condizione è detto ''costante di Lipschitz'' di <math>f</math>.
=== Enunciato ===
Sia <math>(X, d)</math> uno [[spazio metrico]] [[spazio completo|completo]] non [[insieme vuoto|vuoto]]. Sia <math> T
:<math> x^*
==Dimostrazione==
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Sia definita una [[successione (matematica)|successione]] [[composizione di funzioni#Composizioni iterate|ricorrente]] (o successione delle iterate) come segue:
:<math> x_1 = T(x_0)
Sfruttiamo la metrica <math> d </math> e la proprietà di contrazione per valutare la [[distanza (matematica)|distanza]] tra due punti successivi <math> x _{n}, x_{n+1} </math>:
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:<math> d(x _{n}, x_{n+1}) = d(T(x _{n - 1}), T(x_n)) \leq k \; d(x _{n - 1}, x_n) = k \; d(T(x _{n - 2}), T(x_{n - 1})) \leq </math>
:<math> \leq k^2 \; d(x _{n - 2}, x_{n - 1}) \leq
Prendiamo due numeri <math> m \, , n \in \mathbb{N} </math> tali che <math> m \leq n </math>: attraverso la [[disuguaglianza triangolare]] e la proprietà di cui sopra
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:<math> d(x _n, x_m) \leq d(x _n, x_{n - 1}) + d(x _{n - 1}, x_m) \leq \sum_{i = m}^{n - 1} d(x_i,x_{i + 1}) \leq d(x_0,x_1) \; \sum_{i = m}^{n - 1} k^i = </math>
:<math> = d(x_0,x_1) \; \sum_{i = 0}^{n - m - 1} k^{i + m} = k^m \; d(x_0,x_1) \; \sum_{i = 0}^{n - m - 1} k^i
Per <math> n \
:<math> d(x _n, x_m) \leq d(x_0,x_1) \; \frac{k^m}{1 - k} \; \rightarrow \; 0 \qquad \mathrm{ per } \qquad m \rightarrow \infty </math>
ottenendo il [[Criterio di convergenza di Cauchy|criterio di Cauchy per le successioni]]. Passiamo ora dalla completezza dello spazio <math>
:<math> x^* = \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
Poiché la <math> T </math> è un'applicazione [[continuità uniforme|uniformemente continua]], vale
:<math> T(x^*) = \lim_{n \rightarrow \infty} T(x_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} x_{n + 1} = x^*
L'unicità [[dimostrazione per assurdo|si dimostra per assurdo]]: poniamo che esista un secondo punto <math> y* </math> tale che <math> T(y^*) = y^* </math>
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Il valore minimo di <math> k </math> è talvolta chiamato ''[[costante di Lipschitz]]''.
Si osservi che la condizione <math> d(T(x),T(y)) < d(x,y) </math> per <math> x </math> e <math> y </math> distinti (soddisfatta da [[funzione contrattiva|funzioni contrattive]]) non è in generale sufficiente ad assicurare l'esistenza di un punto fisso, come è mostrato dalla mappa <math> T
Quando si usa il teorema in pratica, la parte più difficile è in genere definire <math>
== Corollario ==
Sotto le ipotesi su <math>
== Dimostrazione ==
Supponiamo che <math>
== Applicazioni ==
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Esistono molti teoremi inversi del teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli. Il seguente è dovuto a [[Czeslaw Bessaga]], nel [[1959]]:
Sia <math>f
== Note ==
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