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[[File:Julia set (ice).png|upright=1.2|thumb|Un insieme di Julia]]
In [[analisi complessa]], l''''insieme di Julia''' di una [[funzione olomorfa]] consiste di tutti quei punti il cui comportamento dopo ripetute iterazioni della funzione è [[teoria del caos|caotico]], nel senso che può cambiare drasticamente in seguito ad una piccola perturbazione iniziale.
Il complementare dell'insieme di Julia nel [[piano complesso]] si chiama insieme di Fatou: è l'insieme dei punti il cui comportamento (sempre in seguito a ripetute iterazioni della funzione) è più stabile.
I nomi per questi insiemi si riferiscono ai matematici francesi [[Gaston Julia]] e [[Pierre Fatou]], che iniziarono a studiare la dinamica delle funzioni olomorfe all'inizio del [[XX secolo]], considerando il caso delle iterazioni di [[funzione razionale|funzioni razionali]].
== Polinomi quadratici ==
[[File:Mandelbrot and Julia.png|thumb|Alcuni insiemi di Julia al variare di ''c'' nell'insieme di Mandelbrot]]
Consideriamo ad esempio la funzione olomorfa, dipendente da un parametro complesso ''c'':
:<math>f_c(z) = z^2 + c</math>
L'insieme di tutti i valori ''c'' per cui l'insieme di Julia di <math> f_c </math> è connesso forma il celebre [[insieme di Mandelbrot]]. Se ''c'' è fuori di questo insieme, l'insieme di Julia risulta essere [[omeomorfismo|omeomorfo]] all'[[insieme di Cantor]]
=== Esempi ===
Tramite un calcolatore è possibile rappresentare la dinamica delle iterazioni.
Qui di seguito viene rappresentata la dinamica dell'iterazione <math>z \rightarrow z^2+c</math> per i valori
:<math> c= \phi-2,\ \phi-2+(\phi-1)i,\ 0.285 </math>
<gallery>
Image:Time_escape_Julia_set_from_coordinate_(phi-2,_0).jpg
Image:Time escape Julia set from coordinate (phi-2, phi-1).jpg
Image:Time escape Julia set from coordinate (0.285, 0).jpg
</gallery>
e quindi per
:<math> c= 0.285 + 0.013i,\ 0.45 -0.1428i,\ -0.70176 -0.3842i,\ -0.835-0.2321i. </math>
<gallery>
Image:Julia set (highres 01).jpg
Image:Julia_set_camp3.jpg
Image:Julia_set_camp1.jpg
Image:Julia_set_camp2.jpg
</gallery>
== Curiosità ==
{{curiosità}}
Come spesso succede in matematica, Julia e Fatou furono rivali, sviluppando contemporaneamente la teoria delle iterazioni razionali. Per ironia della sorte, oggi il loro nome viene portato da due insiemi complementari.
== Bibliografia ==
* {{en}} Lennart Carleson and Theodore W. Gamelin, ''Complex Dynamics'', Springer 1993
* {{fr}} Adrien Douady and John H. Hubbard, ''Etude dynamique des polynômes complexes'', Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
* {{en}} John Milnor, ''Dynamics in One Complex Variable'' (terza edizione), Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press 2006 (comparso come [http://www.math.sunysb.edu/preprints.html preprint] a Stony Brook nel 1990], disponibile come [http://www.arxiv.org/abs/math.DS/9201282 arXiV:math.DS/9201272].)
== Altri progetti ==
{{interprogetto|commons=Julia set}}
== Collegamenti esterni ==
* [http://mamo139.altervista.org/index.php?tipo=c&id=11 Programma in C per creare l'insieme di Julia.]
* [http://www.lizardie.com/links/download/fractal-generator Un piccolo programma per creare l'insieme di Julia (Windows, 370 kb)]
{{Teoria del caos}}
{{portale|matematica}}
[[Categoria:Frattali]]
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