Funzione moltiplicativa: differenze tra le versioni

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Molte importanti funzioni in teoria dei numeri sono moltiplicative. Alcuni esempi:
 
* <math>\phi</math>(''n''): la [[funzione <math>\phi</math> di Eulero]], o [[funzione totiente]], che conta i numeri positivi coprimi (ma non maggiori di) ''n''.
* <math>\mu</math>(''n''): la [[funzione di Möbius]], legata al numero di fattori primi di [[numeri privi di quadrati]].
* gcdMCD(''n'',''k''): theil [[greatestmassimo commoncomun divisordivisore]] ofdi ''n'' ande ''k'', wheredove ''k'' isè aun fixedintero integerfissato.
* ''d''(''n''): Il numero di [[divisore|divisori]] positivi di ''n''.
* <math>\sigma</math>(''n''): thela sumsomma ofdi alltutti thei positivedivisori divisorspositivi ofdi ''n'',.
* <math>\sigma</math><sub>''k''</sub>(''n''): la [[funzione divisore]], data dalla somma delle ''k''-sime potenze di tutti i divisori positivi di ''n'' (dove ''k'' può essere un [[numero complesso]] qualunque). Come casi speciali,
** <math>\sigma</math><sub>0</sub>(''n'') = ''d''(''n'') ande
** <math>\sigma</math><sub>1</sub>(''n'') = <math>\sigma</math>(''n''),.
* 1(''n''): la funzione costante, definita da 1(''n'') = 1 per ogni ''n'' (completamente moltiplicativa).
* Id(''n''): la [[identityfunzione functionidentità]], defineddefinita byda Id(''n'') = ''n'' (completelycompletamente multiplicativemoltiplicativa).
* Id<sub>''k''</sub>(''n''): thela powerfunzione functionspotenza, defineddefinita byda Id<sub>''k''</sub>(''n'') = ''n''<sup>''k''</sup> forper anyogni [[naturalnumero number|naturalnaturae]] (oro evenpersino complexcomplesso) number ''k'' (completelycompletamente multiplicativemoltiplicativa). AsCome specialcasi casesspeciali weabbiamo have
** Id<sub>0</sub>(''n'') = 1(''n'') ande
** Id<sub>1</sub>(''n'') = Id(''n''),.
* <math>\epsilon</math>(''n''): la funzione definita da <math>\epsilon</math>(''n'') = 1 se ''n'' = 1 e = 0 se ''n'' > 1; tale funzione viene a volte chiamata ''unità moltiplicativa per la convoluzione di Dirichlet'' o semplicemente ''funzione unità''; a volte la si trova scritta come ''u''(''n''), da non confondersi con <math>\mu</math>(''n''). (completamente moltiplicativa).
* (''n''/''p''), il [[simbolo di Legendre]], dove ''p'' è un [[numero primo]] fissato (completamente moltiplicativa).
* <math>\lambda</math>(''n''): la [[funzione di Liouville]], collegata al numero di fattori primi che dividono ''n'' (completamente moltiplicativa).
* <math>\gamma</math>(''n''), defineddefinita byda <math>\gamma</math>(''n'')=(-1)<sup><math>\omega</math>(n)</sup>, wheredove thela [[additivefunzione functionadditiva]] <math>\omega</math>(''n'') isè theil numbernumero ofdi distinctprimi primesdistinti dividingche dividono ''n''.
 
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* gcd(''n'',''k''): the [[greatest common divisor]] of ''n'' and ''k'', where ''k'' is a fixed integer.
* ''d''(''n''): the number of positive [[divisor]]s of ''n'',
* <math>\sigma</math>(''n''): the sum of all the positive divisors of ''n'',
* <math>\sigma</math><sub>''k''</sub>(''n''): the [[divisor function]], which is the sum of the ''k''-th powers of all the positive divisors of ''n'' (where ''k'' may be any [[complex number]]). In special cases we have
** <math>\sigma</math><sub>0</sub>(''n'') = ''d''(''n'') and
** <math>\sigma</math><sub>1</sub>(''n'') = <math>\sigma</math>(''n''),
* 1(''n''): the constant function, defined by 1(''n'') = 1 (completely multiplicative)
* Id(''n''): [[identity function]], defined by Id(''n'') = ''n'' (completely multiplicative)
* Id<sub>''k''</sub>(''n''): the power functions, defined by Id<sub>''k''</sub>(''n'') = ''n''<sup>''k''</sup> for any [[natural number|natural]] (or even complex) number ''k'' (completely multiplicative). As special cases we have
** Id<sub>0</sub>(''n'') = 1(''n'') and
** Id<sub>1</sub>(''n'') = Id(''n''),
* <math>\epsilon</math>(''n''): the function defined by <math>\epsilon</math>(''n'') = 1 if ''n'' = 1 and = 0 if ''n'' > 1, sometimes called ''multiplication unit for Dirichlet convolution'' or simply the ''unit function''; sometimes written as ''u''(''n''), not to be confused with <math>\mu</math>(''n'') (completely multiplicative).
* (''n''/''p''), the [[Legendre symbol]], where ''p'' is a fixed [[prime number]] (completely multiplicative).
* <math>\lambda</math>(''n''): the [[Liouville function]], related to the number of prime factors dividing ''n'' (completely multiplicative).
* <math>\gamma</math>(''n''), defined by <math>\gamma</math>(''n'')=(-1)<sup><math>\omega</math>(n)</sup>, where the [[additive function]] <math>\omega</math>(''n'') is the number of distinct primes dividing ''n''.
* All [[Dirichlet character]]s are completely multiplicative functions.