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Quest'ultima formulazione è valida in un sistema di coordinate generico, e consente di estendere il rotore a [[varietà riemanniana|varietà riemanniane]] orientate. Dato che dipende dall'[[orientazione]] della varietà, il rotore è un operatore [[Chiralità (matematica)|chirale]]: se cambia l'orientazione cambia anche il verso del rotore.
 
=== Coordinate cartesiane ===
In coordinate cartesiane, detti <math>\mathbf i</math>, <math>\mathbf j</math>, e <math>\mathbf k</math> i [[versori]] degli assi, il rotore di un campo vettoriale <math>\mathbf F = (F_x,F_y,F_z)</math> è il campo vettoriale <math>\nabla \times \mathbf F</math> definito da:
 
:<math>\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{i} \left (\frac {\partial F_z}{\partial y} - \frac {\partial F_y}{\partial z} \right ) + \mathbf{j} \left (\frac {\partial F_x}{\partial z} - \frac {\partial F_z}{\partial x} \right) + \mathbf{k} \left (\frac {\partial F_y}{\partial x} - \frac {\partial F_x}{\partial y} \right)</math>
 
=== Coordinate cilindriche ===
Dato invece un sistema di riferimento in coordinate cilindriche <math>( x = \rho \cos \phi, y = \rho \sin \phi, z = z )</math>, il rotore di <math>\mathbf F(\rho,\phi,z) = \mathbf{e}_{\rho} \ F_{\rho} + \mathbf{e}_{\phi} \ F_{\phi} + \mathbf{e}_{z} \ F_{z} </math> è dato da:
 
:<math>= (\nabla \times \mathbf F)_x dy \wedge dz + (\nabla \times \mathbf F)_y dz \wedge dx + (\nabla \times \mathbf F)_z dx \wedge dy</math>
 
== Identità vettoriali ==
In coordinate cartesiane si mostra che <math>\nabla \times ( \mathbf{v \times \mathbf F})</math> è uguale a:
 
Ovvero, il rotore del rotore è uguale al gradiente della divergenza meno il laplaciano.
 
== Esempi ==
Si consideri il seguente [[campo vettoriale]], che dipende da ''x'' e da ''y'' linearmente:
 
[[File:Curl of uniform curl.JPG|center]]
 
=== Equazioni di Maxwell ===
Nella terza [[equazioni di Maxwell|equazione di Maxwell]], espressione locale della [[legge di Faraday-Neumann-Lenz]], il rotore del [[campo elettrico]] è uguale e opposto al [[derivata|tasso di variazione]] della [[campo magnetico|densità di flusso magnetico]]:
 
:<math>\nabla \times \mathbf H = \mathbf J</math>
 
=== Campo magnetico generato da un filo percorso da corrente ===
Sia ora <math>\mathbf F = \left(\frac{y}{x^2+y^2}, \ \frac{-x}{x^2+y^2}, \ 0\right)</math>. Si noti che tale campo non è definito sui punti dell'asse <math>z</math> ed è ottenuto moltiplicando il campo dell'esempio precedente per l'inverso del quadrato della distanza dall'asse <math>z</math>, quindi un lettore inesperto potrebbe essere indotto a pensare che anche in questo caso il rotore di <math>\vec F</math> debba essere non nullo (una semplice ''ispezione visiva'' in questo caso non aiuta molto, anzi è fuorviante!). In realtà, è facile verificare che tale campo è irrotazionale (cioè il suo rotore è nullo):
 
</math>
 
Il campo in questione, a meno di costanti moltiplicative, coincide con il campo magnetico generato da un filo infinito (l'asse <math>z</math>) percorso da una corrente continua: si tratta appunto di un campo irrotazionale anche se non globalmente conservativo (il [[Lavoro_Lavoro (fisica)|lavoro]] del campo lungo qualunque [[circuitazione]] che non racchiuda l'asse <math>z</math> è nullo, mentre non è nullo se la circuitazione racchiude tale asse).
 
== Note ==
<references/>
 
== Bibliografia ==
* {{en}} Arfken, George B. and Hans J. Weber. ''Mathematical Methods For Physicists'', Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0-12-059876-2.
* {{Cita libro |autore=Korn, Granino Arthur and Theresa M. Korn |titolo=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review |editore=Dover Publications |città=New York |anno= |pagine=157–160 |isbn=0-486-41147-8|lingua=en}}
 
== Voci correlate ==
* [[Gradiente]]
* [[Divergenza]]
* [[Tensore di Kong]]
* [[Teorema del rotore]]
* [[Teorema di Helmholtz]]
* [[Teorema di Stokes]]
 
== Collegamenti esterni ==
* {{SpringerEOM|titolo=Curl|autore= L.N. Sretenskii}}
 
[[Categoria:Operatori lineari]]
 
{{Linkcategorie VdQ|zhqualità}}
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