Differenze tra le versioni di "Divisione per zero"

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[[Bhaskara II]] tentò di risolvere il problema definendo <math>\begin{matrix}\frac{n}{0}=\infty\end{matrix}</math>. Questa definizione non è priva di senso, ma può portare a paradossi se non viene trattata con attenzione. È difficile che Bhaskara II abbia compreso tutti i problemi connessi, quindi la sua soluzione non viene considerata corretta.<ref>[http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/HistTopics/Zero.html A history of Zero]</ref>
 
== Interpretazione algebrica ==
È generalmente stabilito fra i matematici che un modo naturale per interpretare la divisione per zero è di prima definire la divisione in termini di altre operazioni aritmetiche. Stando alle normali regole per l'aritmetica su [[Numero intero|interi]], [[numeri razionali]], [[numeri reali]] e [[numeri complessi]], il valore di una divisione per zero è ''indefinito'', così come in un qualunque [[campo (matematica)|campo]]. Il motivo è che la [[divisione (matematica)|divisione]] è definita in modo da essere l'operazione inversa della [[moltiplicazione]]. Questo significa che il valore di
 
Per <math>b=0</math>, l'equazione <math>bx=a</math> può essere riscritta come <math>0x=a</math> o semplicemente <math>0=a</math>. Quindi, in questo caso, l'equazione <math>bx=a</math> ha ''nessuna soluzione'' se <math>a</math> è diverso da <math>0</math>, e ne ha ''infinite'' se <math>a</math> è uguale a <math>0</math>. In entrambi i casi, <math>{a \over b}</math> è indefinito. Al contrario, per i sistemi numerici menzionati sopra, l'espressione <math>{a \over b}</math> è ''sempre'' definita se <math>b</math> non è uguale a zero.
 
=== Dimostrazioni fallaci basate sulla divisione per zero ===
È possibile nascondere una divisione per zero in una dimostrazione [[algebra|algebrica]], portando ad un [[sofisma algebrico]] simile a <math>2 = 1</math> come segue:
 
In pratica, la divisione per un termine in una qualunque dimostrazione algebrica richiede o una esplicita assunzione che il termine non sia mai zero o una separata giustificazione che mostri che tale termine non possa mai essere zero.
 
=== Algebra astratta ===
Simili proposizioni sono vere in strutture algebriche più generali, come in un [[anello (algebra)|anello]] o in un [[campo (matematica)|campo]]. In un campo, ogni elemento non zero è invertibile sotto la moltiplicazione, così, come sopra, la divisione pone problemi solo durante la divisione per zero. In altri anelli, però, anche la divisione per elementi non zero può porre problemi. Consideriamo, per esempio, l'anello <math>\Z/6\Z</math> degli interi modulo <math>6</math>. Quale significato dobbiamo dare all'espressione
 
Ma l'equazione ha due distinte soluzioni, <math>x\equiv 1 \pmod 6</math> e <math>x\equiv 4 \pmod 6</math>. per cui l'espressione è indefinita. Il problema sorge poiché <math>2</math> non è invertibile rispetto alla moltiplicazione.
 
== Limiti e divisione per zero ==
Ad un primo acchito, potrebbe sembrare possibile definire <math>{a \over 0}</math> considerando il [[limite (matematica)|limite]] di <math>{a \over b}</math> con <math>b</math> che tende a <math>0</math>.
 
nei quali sia <math>f(x)</math> e <math>g(x)</math> tendono a <math>0</math> quando <math>x</math> tende a <math>0</math>, possono convergere a qualunque valore o non convergere affatto. Vedere la [[regola di De L'Hôpital]] per discussioni ed esempi sui limiti di rapporti.
 
== In analisi matematica ==
Nella [[teoria delle distribuzioni]] si può estendere la funzione
 
ad una [[distribuzione (matematica)|distribuzione]] sullo spazio intero dei numeri reali (utilizzando il [[valore principale di Cauchy]]). Non ha comunque senso chiedere il 'valore' di questa distribuzione con <math>x = 0</math>; una risposta sofisticata si appoggia al [[supporto singolare]] della distribuzione.
 
== Altri sistemi numerici ==
Anche se la divisione per zero è indefinita coi numeri reali e gli interi è possibile definirla consistentemente in altre strutture matematiche, per esempio sulla [[sfera di Riemann]] (vedere anche i [[polo (analisi complessa)|poli]] in analisi complessa). Nei [[numeri iperreali]] e nei [[numeri surreali]] la divisione per [[infinitesimi]] è possibile. Se un sistema numerico forma un [[anello commutativo]], come gli interi, i numeri reali e i numeri complessi, per esempio, può essere esteso ad una [[teoria della ruota|ruota]] nella quale la divisione per zero è sempre possibile, anche se la divisione ha un significato leggermente diverso.
 
== Aritmetica dei calcolatori ==
[[File:TI86 Calculator DivByZero.jpg|thumb|Tentativo di effettuare una divisione per zero su una [[calcolatrice grafica]].]]
Nello standard [[IEEE 754]] per la virgola mobile, supportato da praticamente tutti i moderni [[processore|processori]], viene specificato che ogni operazione aritmetica in [[virgola mobile]], compresa la divisione per zero, ha un risultato ben definito. Nell'aritmetica IEEE 754, <math>a/0</math> è infinito positivo quando <math>a</math> è positivo, infinito negativo quando <math>a</math> è negativo, e [[NaN]] (''not a number'') quando <math>a=0</math>. Queste definizioni derivano dalle proprietà dei limiti di rapporti, come discusso sopra.
La divisione intera per zero è generalmente gestita differentemente poiché non vi è una rappresentazione intera per il risultato. La maggior parte dei processori genera una [[eccezione (informatica)|eccezione]] quando viene tentata la divisione intera per zero. Il risultato è tipicamente la terminazione del programma anche se in alcuni casi (specialmente quelli che impiegano l'aritmetica a [[virgola fissa]] nel caso in cui non sia disponibile hardware dedicato per la virgola mobile) viene impiegato un comportamento simile allo standard IEEE, utilizzando grandi numeri positivi e negativi per approssimare gli infiniti.
 
== Note ==
<references/>
 
== Voci correlate ==
* [[Sofisma algebrico]]
 
[[Categoria:Aritmetica]]
[[Categoria:Teorie della programmazione]]
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