Teoria ingenua degli insiemi: differenze tra le versioni

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La '''teoria ingenua degli insiemi'''<ref>Riguardo all'origine dell'espressione "teoria ingenua degli insiemi", Jeff Miller [http://members.aol.com/jeff570/s.html] ha questo da dire: "''teoria ingenua degli insiemi'' (in opposizione a teoria assiomatica degli insiemi) era usata occasionalmente negli anni 1940 e divenne un termine radicato nel 1950. Appare nella pubblicazione ''The Philosophy of Bertrand Russell'' di P. A. Schilpp (ed) nel ''American Mathematical Monthly'', 53., No. 4. (1946), p. 210 e nella pubblicazione ''The Paradox of Kleene and Rosser'' di Laszlo Kalmar's nel ''Journal of Symbolic Logic'', 11, No. 4. (1946), p. 136. (JSTOR)." Il termine è stato successivamente reso popolare dal libro di [[Paul Halmos]], ''Naive Set Theory'' (1960).</ref> si distingue dalla [[teoria assiomatica degli insiemi]] per il fatto che la prima considera gli [[insiemi]] come collezioni di oggetti, chiamati ''elementi'' o ''membri'' dell'insieme, mentre la seconda considera insiemi solo quelli che soddisfano determinati assiomi. Gli insiemi hanno una grande importanza in [[matematica]]; infatti, nelle trattazioni formali moderne, la maggior parte degli oggetti matematici ([[numero|numeri]], [[relazione (matematica)|relazioni]], [[funzione (matematica)|funzioni]], etc.) sono definiti in termini di insiemi.
 
==Introduzione==
 
La teoria ingenua degli insiemi venne creata alla fine del [[XIX secolo]] da [[Georg Cantor]] allo scopo diper permettere ai matematici di lavorare in modo consistente con gli [[insieme infinito|insiemi infiniti]].
 
Come si scoprì più tardi, l'assunzione che sia possibile eseguire qualsiasi operazione sugli insiemi senza restrizioni porta a [[antinomia|antinomie]] come il [[paradosso di Russell]]. In risposta, laLa [[teoria assiomatica degli insiemi]] fu sviluppata per determinare precisamenteappunto quali operazioni sono ammesse e quando. Oggi, quando i matematici parlano di "teoria degli insiemi" come campo di studio, in genere intendono la teoria assiomatica degli insiemi, ma quando parlano di teoria degli insiemi come semplice strumento da applicare in altri campi della matematica, intendono solitamente la teoria ingenua degli insiemi.
 
La teoria assiomatica degli insiemi puòdi esseresolito piuttostorisulta astrusa e ha poca influenza sulla matematica ordinaria. Quindi è utile studiare gli insiemi nell'originale senso ingenuo allo scopo di sviluppare abilità nel lavorare con essi. Inoltre, una buona padronanza della teoria ingenua degli insiemi è necessaria come prima faseper nellala comprensione della motivazione per la teoria assiomatica.
 
In questo articolo si descrive la teoria ingenua. Gli insiemi sono definiti informalmente e alcune delle loro proprietà sono esaminate. I collegamenti in questo articolo a specifici assiomi della teoria degli insiemi mostrano alcuni dei collegamenti fra la qui presente discussione informale e la successiva [[assiomatizzazione]] della teoria degli insiemi, ma non si giustifica ogni affermazione su questa base.
== Insiemi, appartenenza e uguaglianza ==
 
Nella teoria ingenua degli insiemi, un '''insieme''' è descritto come una collezione ben definita di oggetti. Questi oggetti sono chiamati '''elementi''' o '''membri''' dell'insieme. Gli oggetti possono essere qualsiasi cosa: numeri, persone, altri insiemi, etc. Ad esempio, 4 è un elemento dell'insieme di tutti idei [[numero intero|numeri interi]] pari.
Come si vede da questo esempio, gli insiemi possono avere un numero infinito di elementi.
 
Se ''x'' è un elemento di ''A'', allora si dice anche che ''x'' '''appartiene a''' ''A'', o che ''x'' è in ''A''. In questo caso,e scriviamo ''x''&nbsp;∈&nbsp;''A''.
(Il simbolo "<math>\in</math>" ha origine dalla [[alfabeto greco|lettera greca]] [[epsilon (lettera)|epsilon]], "&epsilon;", introdotta da [[Giuseppe Peano|Peano]] nel [[1888]].)
Il simbolo <math>\notin</math> è talvolta usato per scrivere ''x''&nbsp;∉&nbsp;''A'', oppure "x non è in A".
 
Due insiemi ''A'' e ''B'' sono detti '''[[uguaglianza (matematica)|uguali]]''' quando hanno esattamente gli stessi elementi, cioè, se ogni elemento di ''A'' è un elemento di ''B'' e ogni elemento di ''B'' è un elemento di ''A''. (Vedi [[assioma di estensionalità]]).) Quindi unUn insieme è completamente determinato dai suoi elementi; la descrizione è irrilevante. Ad esempio, l'insieme con elementi 2, 3 e 5 è uguale all'insieme di tutti idei [[numero primo|numeri primi]] minori di 6.
SeIl fatto che ''A'' e ''B'' sonosiano uguali, allora questo è indicato simbolicamente con ''A''&nbsp;=&nbsp;''B''.
 
Ammettiamo anche un '''[[insieme vuoto]]''', spesso indicato con <math>\varnothing</math>: un insieme del tutto privo di elementi.
Poiché un insieme è determinato completamentedeterminat dai suoi elementi, può esistere solo un insieme vuoto. (Vedi [[assioma dell'insieme vuoto]])
 
== Specificazione degli insiemi ==
 
Il modo più semplice per descrivere un insieme è elencare i suoi elementi fra parentesi graffe.
Quindi {1,2} indica l'insieme i cui soli elementi sono 1 e 2.
(Vedi [[assioma della coppia]].)
Nota i seguenti punti:
*L'ordine degli elementi non è importante; ad esempio, {1,2} = {2,1}.
*La ripetizione (molteplicità) degli elementi è irrilevante; ad esempio, {1,2,2} = {1,1,1,2} = {1,2}.
(Queste sono conseguenze della definizione di uguaglianza della precedente sezione.)
 
Questa notazione può essere abusata informalmente usando un'espressione del tipo {cani} per indicare l'insieme di tutti idei cani, ma questo esempio sarebbe interpretato da un matematico come "l'insieme contenente il singolo l'elemento ''cani''".
 
Un esempio estremo (ma corretto) di questa notazione è {}, che denota l'insieme vuoto.
 
Possiamo usare anche la notazione {''x''&nbsp;:&nbsp;''P''(''x'')} (o talvolta {''x''&nbsp;|&nbsp;''P''(''x'')}) per indicare l'insieme contenente tutti gli oggetti per cui vale la condizione ''P''.
Ad esempio, {''x''&nbsp;: ''x''&nbsp;è un numero reale} denota l'insieme dei [[numero reale|numeri reali]], {''x''&nbsp;: ''x''&nbsp;ha i capelli biondi} denota l'insieme di chi ha i capelli biondi, e {''x''&nbsp;: ''x''&nbsp;è un cane} denota l'insieme di tutti i cani.
 
== Insieme universo e complementi assoluti ==
 
In determinati contesti possiamo trattare tutti gli insiemi in considerazione come sottoinsiemi di un determinato [[insieme universo]].
Ad esempio, se stiamo esaminando le proprietà dei [[numero reale|numeri reali]] '''R''' (e dei sottoinsiemi di '''R'''), possiamo prendere '''R''' come insieme universo. È importante capire che un insieme universo è definito solo temporaneamente dal contesto; non esiste qualcosa di simile all'insieme universo "universale", "l'insieme di tutto" (vedi [[Teoria ingenua degli insiemi#Paradossi|più sotto]] la sezione "paradossi").
 
Quindi, con gli ''A'', ''B'' e ''C'' definiti nella sezione dei sottoinsiemi, se ''B'' è l'insieme universo, allora ''C' '' è l'insieme degli interi pari, mentre se ''A'' è l'insieme universo, allora ''C' '' è l'insieme di tutti i numeri reali che sono o interi pari o che non sono interi.
 
La collezione {''A''&nbsp;:&nbsp;''A''&nbsp;⊆&nbsp;'''U'''} di tutti idei sottoinsiemi di un dato universo '''U''' è chiamato '''[[insieme potenza]]''' di '''U'''.
(Vedi [[assioma dell'insieme potenza]].)
È indicato con ''P''('''U'''); la "''P''" è talvolta scritta con un carattere decorato.
Per illustrare queste idee, sia ''A'' l'insieme delle persone mancine, e sia ''B'' l'insieme delle persone bionde.
Allora ''A''&nbsp;∩&nbsp;''B'' è l'insieme di tutte le persone bionde mancine, mentre ''A''&nbsp;∪&nbsp;''B'' è l'insieme delle persone che sono o mancine o bionde o entrambi.
''A''&nbsp;\&nbsp;''B'', d'altra parte, è l'insieme delle persone mancine ma non bionde, mentre ''B''&nbsp;\&nbsp;''A'' è l'insieme di tutte ledelle persone bionde ma non mancine.
 
Ora sia ''E'' l'insieme di tutti glidegli esseri umani, e sia ''F'' l'insieme degli esseriesser viventiumani piùdi vecchietà disuperiore a 1.000 anni.
Cosa è ''E''&nbsp;∩&nbsp;''F'' in questo caso?
Nessun essere umano è più vecchio di 1.000 anni, quindi ''E''&nbsp;''''&nbsp;''F''F deve essereè''''&nbsp; l'[[insieme vuoto]] {}.
 
Per ogni insieme ''A'', l'insieme potenza <math>P(A)</math> è una [[algebra di Boole]] sotto le operazioni di unione e intersezione.
 
== Coppie ordinate e prodotto cartesiano ==
Intuitivamente, una '''[[coppia ordinata]]''' è semplicemente una collezione di due oggetti tali che uno può essere individuato come "primo elemento" e l'altro come "secondo elemento", e avente la proprietà fondamentale che due coppie sono uguali se e solo se i loro "primi elementi" sono uguali e i loro "secondi elementi" sono uguali.
 
Formalmente, una coppia ordinata con '''prima coordinata''' ''a'', e '''seconda coordinata''' ''b'', solitamente indicata da (''a'', ''b''), è definita come l'insieme {{''a''},&nbsp;{''a'', ''b''}}.
 
Segue che due coppie ordinate (''a'',''b'') e (''c'',''d'') sono uguali se e solo se ''a''&nbsp;=&nbsp;''c'' e ''b''&nbsp;=&nbsp;''d''.
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