Teoria ingenua degli insiemi: differenze tra le versioni

La '''teoria ingenua degli insiemi'''<ref>Riguardo all'origine dell'espressione "teoria ingenua degli insiemi", Jeff Miller [http://members.aol.com/jeff570/s.html] ha questo da dire: "''teoria ingenua degli insiemi'' (in opposizione a teoria assiomatica degli insiemi) era usata occasionalmente negli anni 1940 e divenne un termine radicato nel 1950. Appare nella pubblicazione ''The Philosophy of Bertrand Russell'' di P. A. Schilpp (ed) nel ''American Mathematical Monthly'', 53., No. 4. (1946), p. 210 e nella pubblicazione ''The Paradox of Kleene and Rosser'' di Laszlo Kalmar's nel ''Journal of Symbolic Logic'', 11, No. 4. (1946), p. 136. (JSTOR)." Il termine è stato successivamente reso popolare dal libro di [[Paul Halmos]], ''Naive Set Theory'' (1960).</ref> si distingue dalla [[teoria assiomatica degli insiemi]] per il fatto che la prima considera gli [[insiemi]] come collezioni di oggetti, chiamati ''elementi'' o ''membri'' dell'insieme, mentre la seconda considera insiemi solo quelli che soddisfano determinati assiomi. Gli insiemi hanno una grande importanza in [[matematica]]; infatti, nelle trattazioni formali moderne, la maggior parte degli oggetti matematici ([[numero|numeri]], [[relazione (matematica)|relazioni]], [[funzione (matematica)|funzioni]], etc.) sono definiti in termini di insiemi.

La teoria ingenua degli insiemi venne creata alla fine del [[XIX secolo]] da [[Georg Cantor]] allo scopo diper permettere ai matematici di lavorare in modo consistente con gli [[insieme infinito|insiemi infiniti]].

Come si scoprì più tardi, l'assunzione che sia possibile eseguire qualsiasi operazione sugli insiemi senza restrizioni porta a [[antinomia|antinomie]] come il [[paradosso di Russell]]. In risposta, laLa [[teoria assiomatica degli insiemi]] fu sviluppata per determinare precisamenteappunto quali operazioni sono ammesse e quando. Oggi, quando i matematici parlano di "teoria degli insiemi" come campo di studio, in genere intendono la teoria assiomatica degli insiemi, ma quando parlano di teoria degli insiemi come semplice strumento da applicare in altri campi della matematica, intendono solitamente la teoria ingenua degli insiemi.

La teoria assiomatica degli insiemi puòdi esseresolito piuttostorisulta astrusa e ha poca influenza sulla matematica ordinaria. Quindi è utile studiare gli insiemi nell'originale senso ingenuo allo scopo di sviluppare abilità nel lavorare con essi. Inoltre, una buona padronanza della teoria ingenua degli insiemi è necessaria come prima faseper nellala comprensione della motivazione per la teoria assiomatica.

Nella teoria ingenua degli insiemi, un '''insieme''' è descritto come una collezione ben definita di oggetti. Questi oggetti sono chiamati '''elementi''' o '''membri''' dell'insieme. Gli oggetti possono essere qualsiasi cosa: numeri, persone, altri insiemi, etc. Ad esempio, 4 è un elemento dell'insieme di tutti idei [[numero intero|numeri interi]] pari.

Se ''x'' è un elemento di ''A'', allora si dice anche che ''x'' '''appartiene a''' ''A'', o che ''x'' è in ''A''. In questo caso,e scriviamo ''x''&nbsp;∈&nbsp;''A''.

Due insiemi ''A'' e ''B'' sono detti '''[[uguaglianza (matematica)|uguali]]''' quando hanno esattamente gli stessi elementi, cioè, se ogni elemento di ''A'' è un elemento di ''B'' e ogni elemento di ''B'' è un elemento di ''A''. (Vedi [[assioma di estensionalità]]).) Quindi unUn insieme è completamente determinato dai suoi elementi; la descrizione è irrilevante. Ad esempio, l'insieme con elementi 2, 3 e 5 è uguale all'insieme di tutti idei [[numero primo|numeri primi]] minori di 6.

SeIl fatto che ''A'' e ''B'' sonosiano uguali, allora questo è indicato simbolicamente con ''A''&nbsp;=&nbsp;''B''.

Ammettiamo anche un '''[[insieme vuoto]]''', spesso indicato con <math>\varnothing</math>: un insieme del tutto privo di elementi.

Poiché un insieme è determinato completamentedeterminat dai suoi elementi, può esistere solo un insieme vuoto. (Vedi [[assioma dell'insieme vuoto]])

Quindi {1,2} indica l'insieme i cui soli elementi sono 1 e 2.

*L'ordine degli elementi non è importante; ad esempio, {1,2} = {2,1}.

Questa notazione può essere abusata informalmente usando un'espressione del tipo {cani} per indicare l'insieme di tutti idei cani, ma questo esempio sarebbe interpretato da un matematico come "l'insieme contenente il singolo l'elemento ''cani''".

Un esempio estremo (ma corretto) di questa notazione è {}, che denota l'insieme vuoto.

Possiamo usare anche la notazione {''x''&nbsp;:&nbsp;''P''(''x'')} (o talvolta {''x''&nbsp;|&nbsp;''P''(''x'')}) per indicare l'insieme contenente tutti gli oggetti per cui vale la condizione ''P''.

In determinati contesti possiamo trattare tutti gli insiemi in considerazione come sottoinsiemi di un determinato [[insieme universo]].

La collezione {''A''&nbsp;:&nbsp;''A''&nbsp;⊆&nbsp;'''U'''} di tutti idei sottoinsiemi di un dato universo '''U''' è chiamato '''[[insieme potenza]]''' di '''U'''.

''A''&nbsp;\&nbsp;''B'', d'altra parte, è l'insieme delle persone mancine ma non bionde, mentre ''B''&nbsp;\&nbsp;''A'' è l'insieme di tutte ledelle persone bionde ma non mancine.

Ora sia ''E'' l'insieme di tutti glidegli esseri umani, e sia ''F'' l'insieme degli esseriesser viventiumani piùdi vecchietà disuperiore a 1.000 anni.

Nessun essere umano è più vecchio di 1.000 anni, quindi ''E''&nbsp;''∩''&nbsp;''F''F deve essereè''''&nbsp; l'[[insieme vuoto]] {}.

Intuitivamente, una '''[[coppia ordinata]]''' è semplicemente una collezione di due oggetti tali che uno può essere individuato come "primo elemento" e l'altro come "secondo elemento", e avente la proprietà fondamentale che due coppie sono uguali se e solo se i loro "primi elementi" sono uguali e i loro "secondi elementi" sono uguali.

Formalmente, una coppia ordinata con '''prima coordinata''' ''a'', e '''seconda coordinata''' ''b'', solitamente indicata da (''a'', ''b''), è definita come l'insieme {{''a''},&nbsp;{''a'', ''b''}}.