Differenze tra le versioni di "Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy"

:<math> y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t)) \mathrm{d}t</math>
 
Ma questa è la formulazione [[integrale]] (ed equivalente) del [[problema di Cauchy]], quindi per concludere la dimostrazione non resta altro che mostrare l'unicità di tale soluzione. Il modo migliore è procedere per [[Dimostrazione per assurdo|assurdo]]: si supponga che esisteesista un'altra [[Funzione (matematica)|funzione]] <math>g(x)</math> (soluzione del PdC) definita in un nuovo [[intorno]] <math>I_{\delta'}</math> (la [[notazione]] rimane coerente con quanto esposto in precedenza) della [[Condizioni iniziali|condizione iniziale]] <math>x_0</math> (quindi con lo stesso centro) e tale che esiste <math>\tilde{x} \in I_{\delta'} </math> per cui <math>g(\tilde{x}) \neq y(\tilde{x})</math>. DettoDefinito <math>\tilde{\delta} = min \{\delta, \delta'\}</math> si consideri la relazione (valida per ipotesi di assurdo):
 
:<math>|g(x) - y_0| = \left| \int_{x_0}^x f(t,g(t)) \mathrm{d}t \right| \le M |x - x_0| \quad \forall x \in I_{\tilde{\delta}}</math>
Con un procedimento completamente analogo al precedente si giunge però alla [[stima]]:
 
:<math>|g(x) - y_k(x)| \le \frac{ML^k}{(k+1)!} |x - x_0|^{k+1} \quad \forall x \in I_\tilde{\delta}</math>
 
Dato che il secondo membro della [[disuguaglianza]] tende a 0 al tendere di <math>k</math> all'[[infinito (matematica)|infinito]], si può dedurre che:
:<math>g(x) = y(x) = \lim_{k\to +\infty} y_k \quad \forall x \in I_{\tilde{\delta}}</math>
 
e ciò contraddice l'[[ipotesi]] se <math>{\delta}'<{\delta}</math> , mentre se <math>{\delta}<{\delta}'</math> non contraddice l'ipotesi ma dimostra che la funzione <math>g(x) = y(x)</math> quando <math>g(x)\in I_{\delta}</math> che è il nostro intervallo di partenza.
e ciò contraddice l'[[ipotesi]].
 
== Generalizzazioni ==
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